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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 11

Mostre que, para todo x > 0 , tem-se

  1. sen ⁡ x < x - x 3 3 ! + x 5 5 !
  2. 0 < sen ⁡ x - x - x 3 3 ! < x 5 5 !

(Sugestão: Utilize o item (b) do Exercício 10 e o item (a) acima.)

Passo 1

  1. Vamos considerar a expressão f x = sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 !

    2. Temos que:

    f 0 = sen ⁡ 0 - 0 - 0 3 3 ! + 0 5 5 ! = 0

    Vamos calcular f ' x :

    f ' x = sen ⁡ x - x - x 3 6 + x 5 120 ' = cos ⁡ x - 1 - 3 x 2 6 + 5 x 4 120 = cos ⁡ x - 1 + x 2 2 - x 4 24

    Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

    f ' x < 0 para x > 0 , assim f x é estritamente decrescente em - ∞ , 0 .

    Assim temos que:

    f x < 0 → sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! < 0 → sen ⁡ x < x - x 3 3 ! + x 5 5 !

    Passo 2

  2. Vamos considerar a expressão g x = sen ⁡ x - x - x 3 3 ! e h x = sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 !

Para sen ⁡ x - x - x 3 3 ! < x 5 5 ! foi exatamente o que fizemos no passo anterior.

Vamos fazer para 0 < sen ⁡ x - x - x 3 3 ! :

Temos que:

g 0 = sen ⁡ 0 - 0 - 0 3 3 ! = 0

Vamos calcular g x :

g ' x = sen ⁡ x - x - x 3 6 ' = cos ⁡ x - 1 - 3 x 2 6 = cos ⁡ x - 1 + x 2 2

Agora vamos analisar o sinal de g ' x :

g ' x > 0 para x > 0 , assim g x é estritamente crescente em 0 , + ∞ .

Assim temos que:

g x > 0 → sen ⁡ x - x - x 3 3 ! > 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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