Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 7
a) Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.
b) Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.
Passo 1
a) Temos que todo polinômio de terceiro grau é dado por:
Com .
Para , temos que e ;
Para , temos que e ;
Em ambos os casos temos que a função é continua, assim. Em algum ponto a função muda o sinal pois nos infinitos, temos valores de sinais opostos. Logo todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.
Passo 2
b) O polinômio de grau é da lei de:
Com .
Para , temos que e ;
Para , temos que e ;
Lembrando que todo polinômio é contínuo em , em ambos os casos temos pelo menos um ponto onde a função muda o sinal pois nos infinitos, temos valores de sinais opostos e, consequentemente, passa no em algum momento. Logo todo polinômio de grau admite pelo menos uma raiz real.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)