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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 25

Um motor com 1 cavalo motor (hp) pode fazer 8.250 J de trabalho por segundo. Se um motor com 0,1 hp for usado para bombear água de um tanque cheio com a forma de um paralelepípedo retangular com 6 m de profundidade, 6 m de largura e 18 m de comprimento para um ponto 15 m acima da borda do tanque, quanto tempo irá levar?

Passo 1

Sabemos que o trabalho W realizado para levantar uma massa de água em uma altura h é dado por W = m g h , sendo m a massa de água e g o valor da aceleração da gravidade. Devemos então integrar a expressão d W = g h   d m , sendo d m a massa de cada elemento infinitesimal de água que possui altura d z e a área de um retângulo, para achar o trabalho total realizado e então calcular em quanto tempo ele será feito para a potência dada.

Passo 2

Vamos colocar o z o eixo vertical orientado pra baixo com origem no topo do tanque. Devemos achar a massa d m de cada elemento. Eles terão uma altura infinitesimal d z e uma área A = 6 ⋅ 18 = 108 m². Seu volume será então d V = A d z = 108 d z . Sendo ρ = 1000   k g / m 3 a densidade da água, a masssa de cada elemento será então d m = ρ d V = 1000 ⋅ 108 d z = 108000 d z . Além disso, se o elemento está a uma distância z do fundo, será levantado uma altura de h = z + 15 . O trabalho infinitesimal realizado é então:

d W = g h   d m = g z + 15 ⋅   108000 d z = 108000 g ( z + 15 ) d z

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W de z = 0 até o fundo z = 6 :

W = ∫ 0 6 108000 g z + 15 d z = 108000 g z 2 2 + 15 z 0 6 =

= 108000 g 6 2 2 + 15 ⋅ 6 - 0 2 2 + 15 ⋅ 0 = 108000 g 18 + 90 =

= 11664 000 g

Se g = 9,81 m/s², temos W = 114.423 . 8 4 0   J

Passo 4

Temos uma potência de 0,1 hp que equivale a 825   J s , então:

825 t = 114.423.840 ⇒ t = 114.423.840 825 = 138695,6   s = 38 h , 31 m i n ,   35 , 6 s

Resposta

138695,6   s = 38 h , 31 m i n ,   35,6 s

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