40. Um fabricante pode obter um lucro de 20 dólares em cada item se até 800 itens forem produzidos por semana. O lucro decresce 0,02 dólares por item acima de 800. (a) Se x itens forem produzidos por semana, expresse o lucro do fabricante como uma função de x. (b) Como x é o número de itens, é um inteiro não negativo. Para que tenhamos as exigências de continuidade do cálciilo, x deve ser um número real não negativo. Com essa hipótese, mostre que a função da parte (a) é contínua até 800, mas não derivável nesse número.

Letra (a)

Assim reunindo as informações contidas no enunciado, podemos afirmar que a função que expressa o lucro do fabricante será dada por

Letra (b)

Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

f(x0) tem que existir;

1. tem que existir;
2. .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0.

Ao substituir x0 = 800 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a primeira função, pois a mesma está definida para x0 = 800. Com isso temos que

f ( 800 ) = 16000.

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , .

Assim, temos que :

Com isso podemos afimar que existe e é igual a 16000.

Verificando a ultima condição , temos:

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é continua em x0 = 800.

Uma função f definida num intervalo aberto que contém x1 será derivável em x1 se e somente se ambas existirem e forem iguais.

A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

A derivada à esquerda de f(X) em x1 = 800 será:

A derivada à direita de f(X) em x1 = 150 será :

Como obtemos que não existe. Assim, f(X) não é derivável em x1 = 800. Com isso, percebe-se que uma função ser contínua em X1 , não necessariamente implica que ela é derivável em X1.