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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 27

Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retangular com 6 m de profundidade, 4 m de largura e 2 m de comprimento e está cheio de óleo pesando 50 kg/ m 3 . Quando um terço do trabalho necessário para bombear o óleo para a borda do tanque foi realizado, ache o quanto baixou a superfície de óleo.

Passo 1

Sabemos que o trabalho W realizado para levantar uma massa de água em uma altura h é dado por W = m g h , sendo m a massa de água e g o valor da aceleração da gravidade. Devemos então primeiro integrar a expressão d W = g h   d m , sendo d m a massa de cada elemento infinitesimal de água que possui altura d z e a área de um retângulo, para achar o trabalho total que deve ser realizado para bombear toda a água.

Passo 2

Colocaremos o eixo z apontado para baixo e com origem no topo do tanque. Cada elemento infinitesimal de água terá uma altura d z e uma área igual a área da base do paralelepípedo A = 4 ⋅ 2 = 8 m². O volume d V do elemento é então d V = 8 d z . Como a densidade do óleo é 50 kg/ m 3 , a massa de cada elemento é então d m = 50 ⋅ 8 d z = 400 d z . Além disso, cada elemento que está em uma posição z deverá ser erguido z m. Assim obtemos a expressão d W = g ⋅ z ⋅ 400 d z = 400 g   z d z .

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W t o t a l , com z indo até o fundo do tanque que possui z = 6 :

W t o t a l = ∫ 0 6 400 g   z d z = 400 g z 2 2 0 6 = 200 g 6 2 - 0 2 = 7200 g

Passo 4

Agora temos o trabalho total necessário para tirar toda a água do tanque. Mas o trabalho realizado foi apenas um terço do necessário, então temos:

W = W t o t a l 3 = 7200 g 3 = 2400 g

Já vimos que se quisermos retirar o óleo até uma profundidade z devemos realizar um trabalho dado por:

W = ∫ 0 z 400 g   z d z = 400 g z 2 2 0 z = 200 g z 2 - 0 2 = 200 g   z 2

Então, realizando um trabalho W = 2400 g :

2400 g = 200 g z 2 ⇒ z 2 = 2400 200 = 12 ⇒ z = 12 = 2 3   m

O óleo então diminuiu 2 3   m de altura.

Resposta

2 3   m

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