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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 40c

Nesse problema, esquematizamos um modo de mostrar que, se r1, . . . , rn forem reais e distintos, então e^r1t, . . . , e^rnt serão linearmente independentes em –∞

e mostrar que todas as constantes são nulas.

Continue o procedimento iniciado nos itens (a) e (b) obtendo, finalmente,

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser considerar a equação dada no nosso enunciado:

c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t + c 3 e r 3 t + c 4 e r 4 t + … + c n e r n t = 0

Vamos multiplicar os dois lados por e - r 1 t

c 1 + c 2 e ( r 2 - r 1 ) t + c 3 e ( r 3 - r 1 ) t + c 4 e ( r 4 - r 1 ) t + … + c n e ( r n - r 1 ) t = 0

Só falta fazermos a derivada e aplicarmos a multiplicação e ( r 2 - r 1 ) t !!

c 2 ( r 2 - r 1 ) e ( r 2 - r 1 ) t + c 3 ( r 3 - r 1 ) e ( r 3 - r 1 ) t + c 4 ( r 4 - r 1 ) e ( r 4 - r 1 ) t + … + c n ( r n - r 1 ) e ( r n - r 1 ) t = 0

c 2 ( r 2 - r 1 ) + c 3 ( r 3 - r 1 ) e ( r 3 - r 2 ) t + c 4 ( r 4 - r 1 ) e ( r 4 - r 2 ) t + … + c n ( r n - r 1 ) e ( r n - r 2 ) t = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Se seguirmos essa linha de raciocínio para todos os coeficientes, teremos:

c n r n - r n - 1 … r n - r 1 e r n - r n - 1 t = 0

Resposta

c n r n - r n - 1 … r n - r 1 e r n - r n - 1 t = 0

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