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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 30

Encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞?

.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que:

y = e r t

y ' = r e r t

y ' ' = r ² e r t

y ' ' ' = r ³ e r t

y 4 = r 4 e r t

r 4 + 1 = 0

r = e i π 4 + n π 2

y t = C 1 e 1 2 + i 2 t + C 2 e - 1 2 + i 2 t + C 3 e - 1 2 - i 2 t + C 4 e 1 2 - i 2 t

y 0 = 0

y 0 ' = 0

y 0 ' ' ± 1

y 0 ' ' ' =   0

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

C 1 + C 2 + C 3 + C 4 = 0  

C 1 1 2 + i 2 + C 2 - 1 2 + i 2 + C 3 - 1 2 - i 2 + C 4 1 2 - i 2 = 0

C 1 1 2 + i 2 2 + C 2 - 1 2 + i 2 2 + C 3 - 1 2 - i 2 2 + C 4 1 2 - i 2 2 =   - 1

C 1 1 2 + i 2 3 + C 2 - 1 2 + i 2 3 + C 3 - 1 2 - i 2 3 + C 4 1 2 - i 2 3 = 0

C 1 = i 4 = C 3

C 2 =   - i 4 = C 4

y t = 1 2 e - t 2 sin ⁡ t / 2   -   1 2 e t 2 sin ⁡ t / 2

Resposta

y t = 1 2 e - t 2 sin ⁡ t / 2   -   1 2 e t 2 sin ⁡ t / 2

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Considere o sistema mola-massa ilustrado na Figura 4.2.4 consistindo em duas massas unitárias suspensas de molas com constantes 3 e 2, respectivamente. Suponha que não há amortecimento no sistema.Obse
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