Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico que é um centro. Considere a sistema x ' = 0 1 - 1 0 x Mostre que os autovalores são = - i de modo que 0,0 é um centro. Considere, agora o sistema x ' = ϵ 1 - 1 ϵ x onde ϵé éarbitrariamente pequeno. Mostre que os autovalores são ϵ ± i . Assim, independentemente do quaço pequeno for ϵ ≠ 0 , o centro torna-se um ponto espiral. Se ϵ0 , o ponto espiral é assintoticamente estável; se ϵ0 , o ponto espiral é intável.

Enunciado

A equação característica do coeficiente matricial é com raízes complexas

Logo, o ponto crítico na origem é o centro. A equação característica da matriz perturbada é com raízes complexas

Quando o ponto crítico do sistema é um pinto espiral. A sua estabilidade depende do sinal de

Ei, a resposta está no passo a passo :)