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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 28

Uma generalização da equação do pêndulo amortecido discutida no texto, ou de um sistema massa-mola, é a equação de Liénard.

d 2 x d t 2 + c x d x d t + g x = 0

Se c(x) for contante e g(x)=kx, então esta equação tem a forma da equação linear do pêndulo [substitua s e n θ por θ na Eq (12) da seção 9.2]; caso contrário, o amortecimento c x d x d t e a força restauradora g(x) são não-lineares. Suponha que c é continuamente diferenciável e que g 0 = 0

a) Escreva a equação de Liénard como um sistema de duas equações de primeira rdem, introduzindo a variável y = d x d t .

b) Mostre que (0,0) é um ponto crítico e que o sistema é quase linear em uma vizinhança de (0,0).

Passo 1

a) Logo de cara podemos ver que se

d x d t = y → d 2 x d t 2 = d y d t

= - g x - c x y

Passo 2

b) Nós temos

g x = g 0 + g ' 0 x + g ' ' ξ 1 x 2 2

c x = c 0 + c ' ξ 2 x

Onde

0 < ξ 1

ξ 2 < x

g 0 = 0

Logo

d y d t = - g 0 - g ' 0 x - c 0 y - g ' ' ξ 1 x 2 2 - c ' ξ 2   x t  

Com isso o sistema pode ser escrito como

d d t x y = 0 1 - g ' 0 - c 0 x y - 0 - g ' ' ξ 1 x 2 2 - c ' ξ 2   x t

Do qual o resultado segue.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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