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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 21

Encontre (d y)/(d x) :

y = e^(x . t g ( x ))

Passo 1

Considerando a função : y = e^(x . t g ( x ))

Precisamos achar (d y)/(d x) .

Se consideraros :

f = e^u

u = x . t g ( x )

Vamos derivar os termos separadamente:

(d y)/(d u) = (d)/(d u) e^u = e^u

Agora derivando u em relação a x :

(d u)/(d x) = (d ( x . t g ( x ) ))/(d x)

Vamos aplicar a regra do produto para solucionar (d u)/(d x) :

Onde:

w = x

w ' = 1

v = t g (x)

v ' = sec^2 ( x )

Aplicando na fórmula:

(d u)/(d x) = w^' . v + v^' . w

(d u)/(d x) = 1 . t g (x) + x . sec^2 ( x )

Para isso usaremos a regra da cadeia que diz que :

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = e^u . [ t g (x) + x . sec^2 ( x ) ]

Substituindo o valor de u :

(d y)/(d x) = e^(x . t g ( x )) . [ t g (x) + x . sec^2 ( x ) ]

Resposta

(d y)/(d x) = e^(x . t g ( x )) . [ t g (x) + x . sec^2 ( x ) ]

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