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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 29

Encontre f ' ( x ) pela Fórmula (7) e, então, por derivação logarítmica:

f x = π s e n ( x )

Passo 1

Considerando a função : f x = π s e n ( x )

Precisamos achar d y d x .

Aplicando na fórmula (7):

d d x b u = b u . ln ⁡ b . d u d x

Considerando :

b = π

u = s e n x

Aplicando na fórmula:

d d x π - x = π s e n ( x ) . l n ⁡ π . d [ s e n ( x ) ] d x = π s e n x . ln ⁡ π . ( cos ⁡ x )

f ' ( x ) = π s e n x . ln ⁡ π . ( cos ⁡ x )

Passo 2

Considerando a derivação por diferenciação logarítmica:

f x = y = π s e n ( x )

Aplicamos logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( π s e n ( x ) )

Aplicando a propriedade de logaritmo para potências:

ln ⁡ y = s e n ( x ) . l n ⁡ ( π )

Diferenciando de ambos os lados:

d dx [ ln ⁡ y ] = d d x [ s e n ( x ) . l n ⁡ π ]

Retiramos a constante de dentro da derivada:

d dx [ ln ⁡ y ] = ln ⁡ π d d x s e n ( x )

d y d x . 1 y = ln ⁡ π . c o s ⁡ ( x )  

Multiplicar ambo os lados por y :

d y d x = π s e n x . ln ⁡ π . ( cos ⁡ x )

Resposta

f ' ( x ) = π s e n x . ln ⁡ π . ( cos ⁡ x )

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