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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 48

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função apresentada em relação a x . Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, a Regra da Potência, Regra do Produto e outras regras.

Passo 2

Iremos derivar em relação a x a seguinte função

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

Veja que dentro do argumento da raiz temos uma função. Dessa forma, deveremos utilizar a regra da cadeia após derivar a raiz. Além disso, há outra função multiplicando a raiz, então deveremos utilizar a Regra do Produto, que ocorre quando queremos derivar o produto de duas funções e ocorre da seguinte maneira:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f ( x )

Passo 3

Vamos começar diferenciando a equação g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x     em ralação a x para encontrar a derivada da função g ( x )

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

d d x g x = d d x x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

g ' x = x 2 - 1 d d x ( sec - 1 ⁡ x ) + sec - 1 ⁡ x d d x x 2 - 1               u s a r   r e g r a   d e   p r o d u t o

g ' x = x 2 - 1   1 x x 2 - 1 + sec - 1 ⁡ x 1 2 x 2 - 1 d d x   x 2 - 1                     * * *

* * *     u s e   a   r e g r a   d a   c a d e i a   e   a s   f ó r m u l a s

d d x sec - 1 ⁡ x = 1 x x 2 - 1

d d x f n = n f n - 1 d f d x

Passo 4

Continuando a etapa acima

= 1 x + sec - 1 ⁡ x 2 x 2 - 1 d d x x 2 - d d x 1                   u s e   a   r e g r a   d e   a d i ç ã o

= 1 x + sec - 1 ⁡ x 2 x 2 - 1 2 x - 0

g ' ( x ) = 1 x + x sec - 1 ⁡ x x 2 - 1

Resposta

P o r t a n t o   g ' x = 1 x + x sec - 1 ⁡ x x 2 - 1

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