Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 18
Encontre por derivação implícita.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão da pra gente a equação
E pede para gente encontrar derivando implicitamente.
Para fazer isso precisaremos derivar os dois lados da equação assumindo que é uma função de .
Ao fazermos isso, precisaremos usar a regra da cadeia para os casos onde estará dentro de outra função.
Depois basta isolar como sendo e termos nossa derivada pedida.
Vem que te mostro tudinho no passo a passo.
Passo 2
Vamos derivar a equação dada com relação a .
Sendo
Derivando a equação
Podemos derivar cada termos da equação. Assim
Vamos derivar cada um dos termos isoladamente. Beleza?!
Passo 3
Começando
Aqui temos um produto, logo faremos:
Com
E
E usando a regra da cadeia, teremos:
Substituindo da regra do produto, teremos:
Assim:
Que pode ser escrito como:
Perfeito.
Passo 4
Agora para
Aqui também temos um produto, logo faremos:
Com
E
E usando a regra da cadeia, teremos:
Substituindo da regra do produto, teremos:
Assim:
Que pode ser escrito como:
Perfeito.
Passo 5
Agora só falta a derivada de que está do lado direito.
E a derivada de uma constante é igual a zero. Assim:
Agora vamos juntar tudo isso.
Passo 6
Substituindo as derivadas que encontramos
Isso nos deixa com a equação:
Que pode ser escrita como:
Agora, vamos arrumar a equação, e isolarmos , então, ficamos com:
E então,
E prontinho. Temos nossa derivada!