9. Suponha que a função derivável y = f ( x ) tenha uma inversa e que o gráfico de f passe pelo ponto ( 2 ,   4 ) e tenha um coeficiente angular de 1 / 3 nesse ponto. Determine o valor de d f - 1 / d x em x = 4 .

Passo 1

O enunciado nos diz que f ' 2 = 1 / 3 .

E a gente precisa descobrir o coeficiente angular da função inversa na origem, ou seja, a derivada da função inversa na origem: f - 1 ' ( 4 )

Vamos usar Teorema 3 visto nesse capitulo:

f - 1 ' b = 1 f ' f - 1 b

Ele é meio feio mas perceba que a gente tem tudo o que precisa.:

f - 1 ' b = f - 1 ' ( 4 )

Então

b = 4

Passo 2

Agora pensa assim, no enunciado foi falado que o gráfico passa pelo potno 2 ,   4 . Da mesma forma que f passa por ( 2 ,   4 ) , sua função inversa vai passar por ( 4 ,   2 ) , devido a simetria dos gráficos. Então a função inversa calculada em x = 4 vai nos resultar y = 2 :

f - 1 4 = 2 ⇒ f - 1 b = 2

Se substituirmos essas duas informações na equação do Teorema 3 vamos obter:

f - 1 ' 4 = 1 f ' 2

E o valor de f ' 2 nós temos, logo

f - 1 ' 4 = 1 1 / 3

f - 1 ' 4 = 3

Resposta

f - 1 ' 4 = 3

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