Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 3
A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta em 10 anos. Qual será a população em 30 anos?
Passo 1
E aíí gente, vamos pra mais uma?
A primeira informação que vamos usar nesse exercício é que a população cresce proporcionalmente ao número de pessoas naquele instante
Então vamos chamar o número de pessoas naquele instante e a taxa de crescimento da população. Temos:
Então
Onde é uma constante
Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como , olha:
A solução de uma equação diferencial linear é dada por:
Onde
Na nossa equação , temos e então:
Então temos nosso fator de integração.
Vamos substituir as informações que temos na equação :
Sendo
Mass ele fala que , então:
Ta mas e aí, qual é o valor de ?
Passo 2
Temos
E queremos descobrir o valor inicial de . Para isso, vamos usar a informação do enunciado, ele fala que depois de 10 anos, a população de 500 habitantes aumenta 15%, ou seja:
Substituindo na nossa equação:
Então
Logo, a nossa equação é desse jeitinho aqui:
Passo 3
Agora vamos responder a outra pergunta do enunciado, ele quer saber qual vai ser a população em , então:
Então, a população em 30 anos vai ser
E é isso, mais simples do que parecia né hehehe