Obtenha um campo de direção e o adicione aos gráficos das curvas integrais que passam pelos pontos dados.

y' = y^2

  1. (0,1)
  2. (0, 2)
  3. (0, -1)
  4. (0,0)

Passo 1

Precisamos obter o campo de direções de uma EDO de primeira ordem e depois adicionar as soluções particulares a este campo. Portanto, precisamos realizar o seguinte procedimento:

  1. Obter a solução geral da EDO: o que possibilita obter o campo de direções e as soluções particulares;
  2. Obter cada uma das soluções particulares;
  3. Plotar tudo em um gráfico só através do auxílio de softwares.

Passo 2

Vamos começar por resolver a nossa EDO. Vamos utilizar o método de separação de variáveis (tudo que tem x fica em um membro, junto do d x , e tudo que tem y , junto de d y ). Isto é, se tivermos a seguinte função:

d y d x = f y g x ⟹ d y f y = d x g x

E depois, basta integrar os dois membros. Vamos fazer esta separação de acordo com a nossa função. Sendo assim,

y ' = d y d x = y 2

d y y 2 = d x

∫ d y y 2 = ∫ d x

- 1 y = x + k

y = - 1 x + k

E esta é a solução geral da nossa EDO! F x = - 1 x + k .

Passo 3

Vamos obter as nossas três soluções particulares agora. Se a função f ( x ) passa pelo ponto ( 0,1 ) , temos:

f 0 = F 0 = - 1 0 + k = - 1 k = 1

Logo, k = - 1 e f x = - 1 / ( x - 1 ) . Se g ( x ) passa pelo ponto 0 , 2 , temos:

g 0 = F 0 = - 1 k = 2

Portanto, k = - 1 / 2 e g x = - 1 / ( x - 1 / 2 ) . Já se h ( x ) passa pelo ponto 0 , - 1 , temos:

h 0 = F 0 = - 1 k = - 1

Portanto, k = 1 e h x = - 1 x + 1 . Já se F ( x ) for passar pelo ponto ( 0,0 ) , teremos:

F 0 = - 1 k = 0 ⟹ k = ∞

Desta forma, não existe nenhuma função que satisfaz a EDO dada e que passa pelo ponto ( 0,0 ) .

Passo 4

Agora só nos resta esboçar o campo de direções relativa à EDO dada e plotar as três soluções particulares. Sendo assim, temos:

Resposta

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