Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 26
Obtenha um campo de direção e o adicione aos gráficos das curvas integrais que passam pelos pontos dados.
Passo 1
Precisamos obter o campo de direções de uma EDO de primeira ordem e depois adicionar as soluções particulares a este campo. Portanto, precisamos realizar o seguinte procedimento:
- Obter a solução geral da EDO: o que possibilita obter o campo de direções e as soluções particulares;
- Obter cada uma das soluções particulares;
- Plotar tudo em um gráfico só através do auxílio de softwares.
Passo 2
Vamos começar por resolver a nossa EDO. Vamos utilizar o método de separação de variáveis (tudo que tem fica em um membro, junto do , e tudo que tem , junto de ). Isto é, se tivermos a seguinte função:
E depois, basta integrar os dois membros. Vamos fazer esta separação de acordo com a nossa função. Sendo assim,
E esta é a solução geral da nossa EDO! .
Passo 3
Vamos obter as nossas três soluções particulares agora. Se a função passa pelo ponto , temos:
Logo, e . Se passa pelo ponto , temos:
Portanto, e . Já se passa pelo ponto , temos:
Portanto, e . Já se for passar pelo ponto , teremos:
Desta forma, não existe nenhuma função que satisfaz a EDO dada e que passa pelo ponto .
Passo 4
Agora só nos resta esboçar o campo de direções relativa à EDO dada e plotar as três soluções particulares. Sendo assim, temos:
Resposta
