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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 2d

Determine y=y(x) que satisfaça as condições dadas

d)

d y d x = y 2 - 4   e   y 0 = 1

Passo 1

Temos que determinar Y para as condições dadas

Passo 2

Primeiro temos que integrar a função

d y d x = y 2 - 4

d y y 2 - 4 = d x

Integrando temos

∫ d y y 2 - 4 = ∫ d x = x

E

∫ d y y 2 - 4 d x     = 1 4 ∫ d y y 2 4 - 1

Fazendo troca de váriaveis

s e c   u = y 2

sec u tg u ⁡   d u = d y 2

sec 2 ⁡ - 1 = tg 2 ⁡ u

Logo temos

1 4 ∫ 2 sec ⁡ u   t g   u d u t g 2   u = 1 4 ∫ 1 s e n   u   d u =   1 4 ( ln ⁡ 2 - y y + 2 )    

Passo 3

Agora igualando

1 4 [ ln ⁡ ( 2 - y ) - ln ⁡ ( y + 2 ) ] = x + C

Aplicando a exponencial temos

2 - y y + 2 = e 4 x + C → e 4 x + c 2 + y = 2 e 4 x + c +   e 4 x + c y = 2 - y

- 2 e 4 x + c + 2 = + y + e 4 x + c y

y = ( - 2 e 4 x + c + 2 ) 1 + e 4 x + c

Finalmente como

y 0 = 1

Logo temos

1 = ( - 2 e 4 x + c + 2 ) 1 + e c

Portanto

1 + e c = - 2 e C + 2 → 3 e c = 1

C = ln ⁡ 1 3  

y x = ( - 2 3 e 4 x + 2 ) 1 + 1 3 e 4 x = 6 - 2 e 4 x 3 + e 4 x

Resposta

y x = 6 - 2 e 4 x 3 + e 4 x

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