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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 7

Resolva a equação diferencial.

(d y)/(d t) = (t)/(y e^(y + t^2))

Passo 1

Bom, vamos organizar essa expressão:

(d y)/(d t) = (t)/(y e^(y + t^2))

(d y)/(d t) = (t)/(y e^y e^(t^2))

Agora vamos colocar tudo que tem y de um lado e tudo que tem t de outro

y e^y d y = t e^(- t^2) d t

Passo 2

Agora, integrando ambos lados:

int y e^y d y = int t e^(- t^2) d t

Vamos integrar primeiro a integral em relação a y , fazendo integração por partes

int y e^y d y

u = y -> d u = d y

d v = e^y -> v = e^y

Colocando na nossa formulinha temos isso aqui

y e^y - int e^y d y

Terminando isso ai temos que a integral em relação a y vale

y e^y - e^y

Agora para a integral em relação a t

int t e^(- t^2) d t

Vamos fazer uma substituição simples!

u = - t^2

d u = - 2 t d t

Substituindo na integral temos que

int - (e^u)/(2)

int t e^(- t^2) d t = - (e^u)/(2) -> - (e^(- t^2))/(2)

Passo 3

Isso implica que:

y e^y - e^y = - (1)/(2) e^(- t^2) + C

A solução é dada implicitamente pela equação:

e^y (y - 1) = C - (1)/(2) e^(- t^2)

Não podemos resolver explicitamente para y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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