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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 6

Obtenha as fórmulas das derivadas para csch ⁡ x , sech ⁡ x e coth ⁡ x das fórmulas de derivação para sinh ⁡ x , cosh ⁡ x e tanh ⁡ x .

Passo 1

Esse exercício é bem simples! Vamos apenas derivar as funções a partir da funções sinh ⁡ x , cosh ⁡ x e tanh ⁡ x . Okay?

Bom, csch ⁡ x é o inverso do seno hiperbólico, ou seja:

csch ⁡ x = 1 sinh ⁡ x = 2 e x - e - x

Assim, podemos derivar:

d d x csch ⁡ x = d d x 1 sinh ⁡ x = d d x sinh ⁡ x sinh 2 ⁡ x

Logo,

csch ⁡ x = - cosh ⁡ x sinh 2 ⁡ x

Para a secante, temos o inverso do cosseno hiperbólico:

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = 2 e x + e - x

Assim, podemos derivar:

d d x sech ⁡ x = d d x 1 cosh ⁡ x = d d x cosh ⁡ x cosh 2 ⁡ x

Logo,

sech ⁡ x = - sinh ⁡ x cosh 2 ⁡ x

Para cotangente, temos seno e cosseno hiperbólicos:

coth ⁡ x = cosh ⁡ x sin h ⁡ x = e x + e - x e x - e - x

Assim, podemos derivar:

d d x coth ⁡ x = d d x cosh ⁡ x sinh ⁡ x = - 1 sinh 2 ⁡ x

Logo,

coth ⁡ x = - csch 2 ⁡ x

Prontinho!!

Resposta

csch ⁡ x = - cosh ⁡ x sinh 2 ⁡ x

sech ⁡ x = - sinh ⁡ x cosh 2 ⁡ x

coth ⁡ x = - csch 2 ⁡ x

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Calcule as integrais. ∫ tanh ⁡ x sech 2 ⁡ x d x
Calcule as integrais. ∫ csch 2 ⁡ 3 x d x
Calcule as integrais. ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 tanh ⁡ x sech 3 ⁡ x d x
Em cada parte, encontre o limite.(a) lim x → + ∞ ⁡ ( arccosh ⁡ x - ln ⁡ x ) (b) lim x → + ∞ ⁡ ( cosh ⁡ x e x )
Exatamente duas das funções hiperbólicas são limitadas.