Obtenha os gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de f' e f'' para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

x^6 - 15x^5 + 75x^4 - 125x^3 - x

Passo 1

Fala meu querido!

Nessa questão temos a seguinte função:

f x = x 6 - 15 x 5 + 75 x 4 - 125 x 3 - x

E a partir dos gráficos de f , f ' e f ' ' estimar os intervalos de crescimento, decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

O gráfico da derivada f ' , nos indica o crescimento da função de forma que:

f ' > 0

Indica que a f cresce e

f ' < 0

Indica que a f decresce.

f ' = 0 indica que a função pode ter um valor extremo de forma que se a função crescia e depois decresce, esse ponto representa um máximo e se a função decrescia e depois cresce, esse ponto representa um mínimo.

O gráfico da segunda derivada f ' ' , nos indica a concavidade da função de forma que:

f ' ' > 0

Indica que a f tem concavidade para cima e

f ' ' < 0

Indica que a f tem concavidade para baixo.

f ' ' = 0 indica que a função possui um ponto de inflexão desde que nesse ponto a segunda derivada troque de sinal.

Para fazer essa questão vamos encontrar a derivada primeira e segunda dessa função e então plotar esses gráficos.

Para resolvermos este problema, é ideal que façamos primeiramente as derivações necessárias e encontremos os pontos de interseção com o eixo x para em seguida, esboçarmos os gráficos, okay?

Passo 2

Nossa função f é:

f x = x 6 - 15 x 5 + 75 x 4 - 125 x 3 - x

Seu gráfico é:

E com uma janela gráfica maior temos:

Fazendo a derivada primeira:

f ' x = 6 x 5 - 75 x 4 + 300 x 3 - 375 x 2 - 1

O gráfico da derivada é:

E com uma janela gráfica maior temos:

Por fim, a segunda derivada vale:

f ' ' x = 30 x 4 - 300 x 3 + 900 x 2 - 750 x

E o gráfico da segunda derivada é:

Com uma janela gráfica maior temos:

Passo 3

Fazendo as estimativas, temos que:

Para o gráfico f ' , nós estimamos que f ' < 0 e portanto f é decrescente em - ∞ , 2,5 temos que f ' > 0 em ( 2 , 5 ,     ∞ ) ;

Portanto temos um mínimo local em x = 2,5 .

Para o gráfico de f ' ' , estimamos que f ' ' > 0 e f   tem concavidade para cima em ( - ∞ ,     0 ) e ( 1.38 ,   3.62 ) e 5 ,   + ∞ . E, f ' ' < 0 e f tem concavidade para baixo em ( 0 ,   1.38 ) e ( 3.62 ,   5 ) .

Os pontos de inflexão são localizados em x = 0 , x = 1,38 , x = 3,62 e x = 5 .

Finish!!

Resposta

Fazendo as estimativas, temos que:

Para o gráfico f ' , nós estimamos que f ' < 0 e portanto f é decrescente em - ∞ , 2,5 temos que f ' > 0 em ( 2,5 ,     ∞ ) ;

Portanto temos um mínimo local em x = 2,5 .

Para o gráfico de f ' ' , estimamos que f ' ' > 0 e f   tem concavidade para cima em ( - ∞ ,     0 ) e ( 1.38 ,   3.62 ) e 5 ,   + ∞ . E, f ' ' < 0 e f tem concavidade para baixo em ( 0 ,   1.38 ) e ( 3.62 ,   5 ) .

Os pontos de inflexão são localizados em x = 0 , x = 1,38 , x = 3,62 e x = 5 .

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