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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 14a

Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) .

a ) f x = x 2 - 1

Passo 1

Primeiro vamos começar pelo esboço dessa função. Ela é uma funçãod e segundo grau, portanto a cara dela é de uma parábola. Para esboçar uma parábola precisamos determinar quatro pontos principais: as duas raíses, o ponto onde a função corta o eixo y e o vértice. Vamos lá?

Primeiro as raízes: f x = 0

x 2 - 1 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara com a = 1 ,   b = 0 ,   c = - 1 temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 0 ± 0 2 - 4.1 . ( - 1 ) 2.1 = ± 1

Assim os dois primeiros pontos são: ( 1,0 ) e ( - 1,0 ) .

Passo 2

Agora vamos pros outros dois? Bola lá! O ponto onde a função corta o eixo y é onde x = 0 :

f 0 = 0 2 - 1 = - 1

Então o ponto no qual a função cruza o eixo y é o ( 0 , - 1 ) .

Passo 3

Por último o vértice:

x v = - b 2 a = - 0 2.1 = 0

y v = - Δ 4 a = - 4 4.1 = - 1

Assim temos o vértice ( 0 , - 1 ) . Como o coeficiente a é maior do que zero, a parábola tem boca para cima. Juntando os quatro pontos, podemos construir o gráfico:

Beleza! Agora sim podemos analisar o sinal da função!

A função assume valores positivos quando está acima do eixo x , e valores negativos quando está abaixo.

Sendo assim temos:

f x ≥ 0 : x ≤ - 1   o u   x ≥ 1

f x ≤ 0 :   - 1 ≤ x ≤ 1

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

f x ≥ 0 : x ≤ - 1   o u   x ≥ 1

f x ≤ 0 :   - 1 ≤ x ≤ 1

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