Onde a reta normal à elipse x 2 - x y + y 2 = 3 no ponto ( - 1 ,1 ) intercepta a elipse uma segunda vez?

Como já sabemos que a reta normal intercepta em - 1 , então a reta normal intercepta novamente em x = 1 e y = - 1

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 74

Onde a reta normal à elipse no ponto intercepta a elipse uma segunda vez?

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Bom, galera, nesse exercício queremos encontrar o ponto aonde uma reta normal intercepta a elipse de equação dada uma segunda vez.

Para isso, utilizaremos derivada implícita para encontrar o coeficiente angular de uma reta tangente a elipse e assim encontrar o coeficiente angular da reta normal à elipse.

Veja só! 😬

Passo 2

Primeiramente vamos encontrar a inclinação da reta tangente à elipse. Para isso, iremos utilizar a derivação implícita para encontrar na equação da elipse

Isolando temos

No ponto , temos

Sabemos que a inclinação da reta normal é

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Após encontrar a inclinação da reta normal, podemos encontrar a equação da reta normal utilizando a seguinte fórmula

Onde é o ponto dado. Assim, temos

Substituindo na equação da elipse podemos encontrar o ponto em aonde a reta normal intercepta a elipse

Entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

Como já sabemos que a reta normal intercepta em , então a reta normal intercepta novamente em e

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 / 3 + y 2 / 3 = 4 , ( - 3 3 , 1 ) (astroide)

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. 2x 2 + y 2 2 = 25( x 2 - y 2 ) , ( 3,1 ) (lemniscata)

a) A curva com equação y 2 = 5 x 4 - x 2 é chamada kampyle de Eudoxo. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1,2 ) .b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tan