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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 74

Onde a reta normal à elipse x 2 - x y + y 2 = 3 no ponto ( - 1 ,   1 ) intercepta a elipse uma segunda vez?

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Bom, galera, nesse exercício queremos encontrar o ponto aonde uma reta normal intercepta a elipse de equação dada uma segunda vez.

Para isso, utilizaremos derivada implícita para encontrar o coeficiente angular de uma reta tangente a elipse e assim encontrar o coeficiente angular da reta normal à elipse.

Veja só! 😬

Passo 2

Primeiramente vamos encontrar a inclinação da reta tangente à elipse. Para isso, iremos utilizar a derivação implícita para encontrar y ' na equação da elipse

x 2 - x y + y 2 = 3

2 x - x y ' - y + 2 y y ' = 0

Isolando y ' temos

y ' = - 2 x + y 2 y - x

No ponto ( - 1 ,   1 ) , temos

y ' = - 2 - 1 + 1 2 1 - ( - 1 ) = 1

Sabemos que a inclinação da reta normal é

m = - 1 y ' = - 1

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Após encontrar a inclinação da reta normal, podemos encontrar a equação da reta normal utilizando a seguinte fórmula

y - y o = m ( x - x o )

Onde ( x o ,   y o ) é o ponto dado. Assim, temos

y - 1 = - 1 ( x - ( - 1 ) )

y = - x

Substituindo na equação da elipse podemos encontrar o ponto em x aonde a reta normal intercepta a elipse

x 2 - x ( - x ) + ( - x ) 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

Como já sabemos que a reta normal intercepta em - 1 , então a reta normal intercepta novamente em x = 1 e y = - 1

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 / 3 + y 2 / 3 = 4 , ( - 3 3 , 1 ) (astroide)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. 2x 2 + y 2 2 = 25( x 2 - y 2 ) , ( 3,1 ) (lemniscata)
a) A curva com equação y 2 = 5 x 4 - x 2 é chamada kampyle de Eudoxo. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1,2 ) .b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tan