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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 52

Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

Passo 1

E aí, pessoal! Nessa questão, precisamos encontrar a derivada da função:

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x .

Observe que temos uma função bem complicada que envolve a composição de outras funções.

Dessa forma, vamos utilizar a Regra da Cadeia para obter a derivada pedida! Para facilitar o nosso trabalho, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício, beleza?

  • Regra do produto: sejam u e v funções deriváveis, então

u v ' = u ' v + v ' u .

  • Regra da Cadeia: sejam f e h funções deriváveis, então

    • f ∘ h ' x = f ' h x h ' x .

  • Regra da potência

    • x n ' = n x n - 1 .

  • A derivada da inversa da secante

sec - 1 ⁡ x ' =   1 x x 2 - 1 .

Já temos tudo o que precisamos. Agora, fica de olho nos próximos Passos para ver como vamos resolver essa questão 😎!

Passo 2

Para calcular a derivada da função

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x ,

vamos começar usando a regra do produto.

Tomando

u x = x 2 - 1

e

v x = sec - 1 ⁡ x ,

temos que

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x = u x v x .

Logo, pela Regra do Produto, vale que

g ' x = u ' x v x + u ' x v x .

Como relembramos no Passo 1 , já sabemos que

v ' x = 1 x x 2 - 1 .

Porém, ainda não sabemos qual é a derivada de

u x = x 2 - 1 .

Espia só próximo Passo, beleza?

Passo 3

Para calcular a derivada de

u x = x 2 - 1

vamos usar a Regra da Cadeia!

Escolhendo

f x = x = x 1 2

e

h x = x 2 - 1 ,

temos que

u ( x ) = f ∘ h x = f h x .

Mas, pela Regra da Cadeia,

u ' x = f ∘ h ' x = f ' h x h ' x .

Como, pela Regra da Potência, vale que

f ' x = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

e

h ' x = 2 x ,

Então substituindo as derivadas vamos obter que

u ' x = 1 2 x 2 - 1 - 1 2 ⋅ 2 x .

Simplificando, temos que

u ' x = x x 2 - 1 .

Agora precisamos juntar tudo e obter

g ' x = u ' x v x + u ' x v x .

Passo 4

Como

g ' x = u ' x v x + v ' x u x ,

onde

u x = x 2 - 1

e

v x = sec - 1 ⁡ x ,

e as derivadas valem

v ' x = 1 x x 2 - 1

e

u ' x = x x 2 - 1 ,

então substituindo os valores temos que

g ' x = x x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x + 1 x x 2 - 1 x 2 - 1 .

Simplificando, ficamos com

g ' ( x ) = x sec - 1 ⁡ x   x 2 - 1 + 1 x .

Resposta

A derivada pedida é dada por:

g ' ( x ) = x sec - 1 ⁡ x   x 2 - 1 + 1 x .

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Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se g for uma função par e g ' ( x ) existir, então se h x = ( f ∘ g ) ( x ) e se f for derivável em toda parte, h ' 0 = 0 .
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 4
Dadas f u = u 2 + 5 u + 5 e g x = ( x + 1 ) / ( x - 1 ) , ache a derivada de f ∘ g de duas maneiras: (a) encontrando primeiro ( f ∘ g ) ( x ) e então calculando ( f ∘ g ) ' ( x ) ; (b) usando a regra