Enunciado

Um paciente é injetado com um medicamento a cada 12 horas. Imediatamente antes de cada injeção, a concentração do medicamento foi reduzida em 90 % e a nova dose aumenta a concentração em 1,5   m g / L .

  1. Qual é a concentração após três doses?
  2. Se C n é a concentração após a n-ésima dose, encontre a fórmula para C n como uma função de n ;
  3. Qual é o valor limite da concentração?

Passo 1

Fala galerinha!

Aqui a gente vai terminar essa questão, vamos fazer o item (c). E pra isso precisamos relembrar o resultado do item (b).

C n = 5 3 1 - 0,1 n

Essa é a concentração após a n-ésima dose. E agora queremos o limite da concentração. Mas como fazer isso?

Inicialmente, descobrimos que a concentração C n era uma série geométrica de razão q = 0,1 , o que implica numa série convergente, uma vez que a razão é menor que 1 . O valor limite da concentração será o valor para qual a concentração converge!

lim n → ∞ ⁡ C n = lim n → ∞ ⁡ 5 3 1 - 0,1 n

Vamos calcular no passo 2 ;D

Passo 2

lim n → ∞ ⁡ 5 3 1 - 0,1 n

O limite de uma constante é igual a própria constante, então podemos colocar as constantes pra fora. Ficamos com:

5 3 lim n → ∞ ⁡ 1 - 0,1 n

E o limite da soma é a soma dos limites:

5 3 l i m n → ∞ 1 - l i m n → ∞ 0,1 n

Novamente, o limite de uma constante é igual a própria constante:

5 3 1 - l i m n → ∞ 0,1 n

Pra esse último limite, temos que lembrar que um número entre 0 e 1, elevado a um valor grande, tende a ficar cada vez menor. E no infinito, tende a zero. Joga 0,1 1000 aí na sua calculadora pra você ver:

l i m n → ∞ 0,1 n = 0

Então nosso limite fica:

5 3 1 - 0

E nosso resultado é:

lim n → ∞ ⁡ C n = 5 3

Resposta

O valor limite da concentração é igual a:

5 3   m g / L

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