Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 70c

Um paciente é injetado com um medicamento a cada horas. Imediatamente antes de cada injeção, a concentração do medicamento foi reduzida em e a nova dose aumenta a concentração em .

Qual é a concentração após três doses?

Se é a concentração após a n-ésima dose, encontre a fórmula para como uma função de ;

Qual é o valor limite da concentração?

Passo 1

Fala galerinha!

Aqui a gente vai terminar essa questão, vamos fazer o item (c). E pra isso precisamos relembrar o resultado do item (b).

Essa é a concentração após a n-ésima dose. E agora queremos o limite da concentração. Mas como fazer isso?

Inicialmente, descobrimos que a concentração era uma série geométrica de razão , o que implica numa série convergente, uma vez que a razão é menor que . O valor limite da concentração será o valor para qual a concentração converge!

Vamos calcular no passo 2 ;D

Passo 2

O limite de uma constante é igual a própria constante, então podemos colocar as constantes pra fora. Ficamos com:

E o limite da soma é a soma dos limites:

Novamente, o limite de uma constante é igual a própria constante:

Pra esse último limite, temos que lembrar que um número entre 0 e 1, elevado a um valor grande, tende a ficar cada vez menor. E no infinito, tende a zero. Joga aí na sua calculadora pra você ver:

Então nosso limite fica:

E nosso resultado é:

Resposta

O valor limite da concentração é igual a:

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