Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 133

Teoria e exemplos Sequências geradas pelo método de Newton: O método de Newton, aplicado a uma função derivável f ( x ) , começa com um valor inicial x 0 e constrói a partir daí uma sequência de números { x n } que, sob condições favoráveis, converge para um zero de f . A fórmula recursiva para a sequência é

x n + 1 = x n   -   f ( x n ) f ' ( x n ) .

a. Mostre que a fórmula recursiva para f ( x )   =   x 2 - a ,   a > 0 , pode ser escrita como x n + 1 = ( x n + a / x n ) / 2 .

b. Começando com x 0 = 1 e a   =   3 , calcule termos sucessivos da sequência até o resultado no visor começar a se repetir. Qual número está sendo aproximado? Explique.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Então me acompanha aí em mais uma questão.

O enunciado dá uma fórmula de recursão

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

e pede para a gente testar para a função f ( x )   =   x 2 - a ,   a > 0 , e depois testar se nos aproximamos do valor correto da função usando a sequência. Vamos lá?

Passo 2

a) Para a função f ( x )   =   x 2 - a , temos

f ( x n ) = x n 2 - a

e

f ' ( x n ) = 2 x n

Substituindo isso na fórmula de recursão, obtemos

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n ) = x n - x n 2 - a 2 x n

x n + 1 = 2 x n 2 -   x n 2 +   a 2 x n = x n 2 +   a 2 x n = x n 2 +   a 2 x n = 1 2 x n +   a x n

Passo 3

b) Começando com x 0 = 1 e a   =   3 , nós temos os seguintes termos

x 1 = 1 2 x 0 +   a x 0 = 1 2 1 +   3 1 = 4 2 = 2

x 2 = 1 2 x 1 +   a x 1 = 1 2 2 +   3 2 =   7 4 = 1,75

x 3 = 1 2 x 2 +   a x 2 = 1 2   7 4 +   3 ⋅ 4 7 = 1 2   49 + 48 28 =   97 56 = 1,73

x 4 = 1 2 x 3 +   a x 3 = 1 2   97 56 +   3   97 56 = 1 2   97 56 +   168 97 = 1 2   9409 + 9408 5432 = 1,73

Então, a partir de n = 4 , o valor já começa a se repetir. Esse valor é uma raíz da função f ( x )   =   x 2 - a , com a = 3 , pois

x 2 - 3 = 0 ⇒ x = ± 3 = ± 1,73 .

Gostou desta resolução? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

Ver a discussão acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule os oito primeiros termos da sequência de soma com quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente? ∑ n = 1 ∞ s e nn
Calcule os oito primeiros termos da sequência de soma com quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente? ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 + n 2
Encontre pelo menos 10 somas parciais da série. Transforme em gráfico a sequência dos termos e a sequência das somas parciais no mesmo desenho. A série é convergente ou divergente? Se é convergente, e
Encontre pelo menos 10 somas parciais da série. Transforme em gráfico a sequência dos termos e a sequência das somas parciais no mesmo desenho. A série é convergente ou divergente? Se é convergente, e
Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente? ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n !