1. A série
  2. 1/3 - 1/2 + 1/9 - 1/4 + 1/27 - 1/8 + ... + 1/(3^n) - 1/(2^n) + ...

    Não satisfaz uma das condições do Teorema 14. Qual delas?

  3. Use o Teorema 17 para encontrar a soma da série no item (a).

Passo 1

Iai galeraa, espero que estejam todos deboa! Vamos lá pra mais uma questãozinha de cálculo comigo!

  1. Observando cada uma das condições do Teorema 14, podemos observar que a condição que não é satisfeita pela série acima, é a seguinte:
  2. a n ≥ a n + 1

    Podemos provar isso pois quando aplicamos ela na série, temos que:

    1 3 < 1 2

    O que contraria esse pressuposto.

    Passo 2

  3. Temos pra esse item que

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 1 2 n

O que equivale a:

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + ∑ n = 1 ∞ 1 2 n

E esse resultado se trata da soma de duas séries absolutamente convergentes, portanto, pelo Teorema 17, nós podemos rearranjar os termos da série original

Passo 2

Quando fazemos isso, encontramos a seguinte soma:

1 3 + 1 9 + 1 27 + … - 1 2 + 1 4 + 1 8 + … = 1 3 1 - 1 3 - 1 2 1 - 1 2

Desenvolvendo essa subtração de frações, temos que:

1 2 - 1 = - 1 2

Resposta

  1. a n ≥ a n + 1
  2. - 1 2

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