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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 70b

Um paciente é injetado com um medicamento a cada 12 horas. Imediatamente antes de cada injeção, a concentração do medicamento foi reduzida em 90 % e a nova dose aumenta a concentração em 1,5   m g / L .

  1. Qual é a concentração após três doses?
  2. Se C n é a concentração após a n-ésima dose, encontre a fórmula para C n como uma função de n ;
  3. Qual é o valor limite da concentração?

Passo 1

Fala, galera! Tudo certinho?

A questão nos diz que a cada 12 horas um medicamento é injetado num paciente. Antes da próxima dose, a concentração da dose anterior decaiu 90%. Isso significa que a quantidade de medicamento no corpo diminui para 10% do que era antes da última injeção. Além disso, cada nova injeção aumenta a concentração do medicamento em 1,5 mg/L.

Passo 2

Para o item (a), vamos seguir o raciocínio a seguir:

  • Após a primeira dose, a concentração era de 1,5 mg/L;
  • Após a segunda dose, a concentração deve ser de:

    • 1,5 + 1,5 × 0,1 = 1,5 1 + 0,1

    onde o primeiro 1,5 é a concentração dada pela nova dose e 1,5 × 0,1 é a concentração que sobrou da primeira dose.

  • Após a terceira dose, a concentração deve ser de:

1,5 + 0,1 × 1,5 1 + 0,1

onde o primeiro 1,5 é a concentração dada pela nova dose e 0,1 × 1,5 1 + 0,1 é a concentração que sobrou da segunda dose. Lembre-se que 1,5 1 + 0,1 era a concentração logo após a segunda dose.

Portanto, temos que a concentração desejad é:

1,5 + 0,1 × 1,5 1 + 0,1 = 1,5 + 1,5 0,1 + 0,1 2 = 1,5 1 + 0,1 + 0,1 2

Fazendo as continhas, chegamos que a concentração após as três doses será:

1,665   m g / L

Passo 3

Para o item (b), vamos seguir um raciocínio muito parecido que fizemos para o item (a). No geral, veja que:

C n = 1,5 + 0,1 C n - 1

Podemos repetir a mesma conta acima para C n - 1 :

C n - 1 = 1,5 + 0,1 C n - 2

E assim por diante, até chegamos no C 1 cuja concentração é:

C 1 = 1,5

Agora, trabalhando de baixo para cima, conseguimos uma fórmula para C n :

C 1 = 1,5

C 2 = 1,5 + 0,1 C 1 = 1,5 1 + 0,1

C 3 = 1,5 + 0,1 C 2 = 1,5 1 + 0,1 + 0,1 2

⋮

C n = 1,5 1 + 0,1 + 0,1 2 + 0,1 3 + … + 0,1 n - 1

Podemos escrever essa soma entre colchetes como um somatório! Veja:

C n = 1,5 ∑ i = 0 n - 1 0,1 i

Temos aqui uma série geométrica de razão q = 0,1 ! Vamos escrever a soma dos n primeiros termos da série, já que queremos a concentração após a n-ésima dose:

C n = 1,5 1 - 0,1 n 1 - 0,1

C n = 1,5 1 - 0,1 n 0,9

C n = 5 3 1 - 0,1 n

Passo 4

Por fim, basta fazer n → ∞ para obtermos a concentração limite.

C ∞ = 5 3 lim n → ∞ ⁡ 1 - 0,1 n = 5 3 1 - 0 = 5 3   m g / L

Resposta

A concentração após a n-ésima dose pode ser escrita como:

  1. 1,665 mg/L
  2. C n = 5 3 1 - 0,1 n
  3. 5 3 m g / L
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