Um paciente é injetado com um medicamento a cada horas. Imediatamente antes de cada injeção, a concentração do medicamento foi reduzida em e a nova dose aumenta a concentração em .

1. Qual é a concentração após três doses?
2. Se é a concentração após a n-ésima dose, encontre a fórmula para como uma função de ;
3. Qual é o valor limite da concentração?

Para o item (a), vamos seguir o raciocínio a seguir:

• Após a primeira dose, a concentração era de 1,5 mg/L;
• Após a segunda dose, a concentração deve ser de:

onde o primeiro é a concentração dada pela nova dose e é a concentração que sobrou da primeira dose.

• Após a terceira dose, a concentração deve ser de:

onde o primeiro é a concentração dada pela nova dose e é a concentração que sobrou da segunda dose. Lembre-se que era a concentração logo após a segunda dose.

Portanto, temos que a concentração desejad é:

Fazendo as continhas, chegamos que a concentração após as três doses será:

Para o item (b), vamos seguir um raciocínio muito parecido que fizemos para o item (a). No geral, veja que:

Podemos repetir a mesma conta acima para :

E assim por diante, até chegamos no cuja concentração é:

Agora, trabalhando de baixo para cima, conseguimos uma fórmula para :

Podemos escrever essa soma entre colchetes como um somatório! Veja:

Temos aqui uma série geométrica de razão ! Vamos escrever a soma dos primeiros termos da série, já que queremos a concentração após a n-ésima dose:

Por fim, basta fazer para obtermos a concentração limite.