Quando um peso de 10 N é atado a uma mola de 5 cm de comprimento, esta distende-se e passa a ter 7 cm de comprimento. O peso de 10 N é removido e substituído por um outro de 8 N . O sistema é então inteiramente imerso em um meio que oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea.

(a) Encontre a equação de movimento se o peso é solto 0,5 cm abaixo da posição de equilíbrio com velocidade de 1 cm / s para baixo.

Passo 1

E aíí cara

(a) Nesse item, temos que montar o nosso problema de valor inicial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

Vamos começar encontrando a massa m . O peso utilizado no problema é de 8   N , e sabemos que

P = m . g

Mas deixa eu te falar: esse livro usa g = 32 , por causa das medidas doidas lá. E se a gente usar g = 9,8 nesse exercício, mesmo sendo o correto, vai ficar uma coisa bizarríssima!! Já que ele foi feito pros valores deles. Então, vamos usar g = 32 ok?

Então

8 = m . 32

m = 1 4 k g

Como ele diz que “O sistema é então inteiramente imerso em um meio que oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea”, temos β = 1 . Agora vamos encontrar a constante k usando a informação de que “Quando um peso de 10   N é atado a uma mola de 5   c m de comprimento, esta distende-se e passa a ter 7   c m de comprimento”. Temos:

10 = k . ( 7 - 5 )

2 k = 10

k = 5   N / c m

Então:

1 4 d 2 x d t 2 + d x d t + 5 x = 0

O enunciado também fala que “o peso é solto 0,5   c m abaixo da posição de equilíbrio com velocidade de 1   c m / s para baixo”

Então temos:

x 0 = 1 2

x ' 0 = 1

Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?

Passo 2

(a) Temos:

1 4 d 2 x d t 2 + d x d t + 5 x = 0

x 0 = 1 2

x ' 0 = 1

Isso aí é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução geral:

x = e - 2 t . c 1 . cos ⁡ 4 t + c 2 . s e n 4 t

Aplicando as condições iniciais, encontramos

c 1 = 1 2

c 2 = 1 2

Então, nossa solução é

x = e - 2 t . 1 2 . cos ⁡ 4 t + 1 2 . s e n 4 t

Resposta

x = e - 2 t . 1 2 . cos ⁡ 4 t + 1 2 . s e n 4 t

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