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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 18

Uma partícula que se desloca em linha reta está localizada no ponto (1, –1, 2) e tem módulo de velocidade 2 no instante t = 0. A partícula se move em direção ao ponto (3, 0, 3) com aceleração constante 2i + j + k. Encontre seu vetor posição r(t) no instante t.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Primeiro de tudo, vamos escrever a equação da aceleração, que é o que temos, que pode ser escrita como a derivada da velocidade pelo tempo:

a = d v d t = 2 i + j + k

Vamos passar o dt para o outro lado e integrar, de forma que encontremos a equação da velocidade em função do tempo.

∫ d v = ∫ 2 i + j + k d t

v t = 2 t i + t j + t k + C 1

Passo 2

Vamos descobrir agora o caminho percorrido pela partícula, como ele diz que é em linha reta, podemos simplesmente subtrair as coordenadas.

3 , 0 , 3 - 1 , - 1 , 2 = 2 i + j + k

Essa é a distância percorrida pela partícula.

Sabemos que quando t é 0, o módulo da velocidade é 2. Vamos substituir na função da velocidade encontrada então.

v t = 2 t i + t j + t k + C 1

v 0 = 2 2 2 + 1 2 + 1 2 2 i + j + k = 2 ⋅ 0   i + 0 j + 0 k + C 1

C 1 = 2 6 2 i + j + k

Vamos reescrever a equação da velocidade então.

v t = 2 t i + t j + t k + 2 6 2 i + j + k

v t = 2 t + 4 6 i + t + 2 6 j + t + 2 6 k

Passo 3

Mas também, sabemos que velocidade é a derivada do deslocamento em função do tempo, então vamos reescrever novamente.

v t = d r d t

d r d t = 3 t + 6 11 i + t + 2 11 j + t + 2 11 k

Vamos passar dt para o outro lado e integrar.

∫ d r = ∫ 3 t + 6 11 i + t + 2 11 j + t + 2 11 k d t

r t = t 2 + 4 6 t i + t 2 2 + 2 6 t j + t 2 2 + 2 6 t k + C 2

Passo 4

Por fim, conhecemos a posição inicial da partícula, então vamos descobrir a segunda constante

r 0 = i - j + 2 k

r 0 = 0 2 + 4 6 0 i + 0 2 2 + 2 6 0 j + 0 2 2 + 2 6 0 k + C 2

C 2 = i - j + 2 k

Portanto, aí está a nossa equação do deslocamento:

r t = t 2 + 4 6 t i + t 2 2 + 2 6 t j + t 2 2 + 2 6 t k + i - j + 2 k

r t = t 2 + 4 6 t + 1 i + t 2 2 + 2 6 t - 1 j + t 2 2 + 2 6 t + 2 k

E aí está a função vetorial! Bora pro próximo!

Resposta

r t = t 2 + 4 6 t + 1 i + t 2 2 + 2 6 t - 1 j + t 2 2 + 2 6 t + 2 k

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada da função vetorial. r t =t gt , sec ⁡ t , 1 t 2
Sejam G : A ⊂ R n → R m e F : B ⊂ R m → R p , com I mG ⊂ B . Suponha G contínua em P ∈ AeF contínua em G ( P ) . Prove que a composta H X = F ( G X ) é contínua em P .
As funções vetoriais deriváveis são contínuas Mostre que, se r(t) = ƒ(t)i + g(t)j + h(t)k é derivável em t = t0, então é contínua em t0 também.
Deduza as equações x = v 0 k 1 - e - k t cos ⁡ α y = v 0 k 1 - e - k t sen ⁡ α + g k 2 1 - k t - e - k t resolvendo o problema de valor inicial a seguir para um vetor r no plano.Equação diferencial: d