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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 12

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.

Equação diferencial: d r d t = 180 t i + ( 180 t - 16 t 2 ) j

Condição inicial: r 0 = 100 j

Passo 1

Fala minha galera querida!! Precisamos descobrir quem é esse r, para isso vamos rearranjar a equação diferencial dada e usar da condição inicial para resolver o problema, vem comigo.

d r d t = 180 t i + ( 180 t - 16 t 2 ) j

Vamos passar dt para o outro lado:

d r = 180 t i + 180 t - 16 t 2 j d t

E agora integramos dos dois lados:

∫ d r = ∫ 180 t i + 180 t - 16 t 2 j d t

Integral de dr é o próprio r, integral de t em dt é t 2 / 2 e t 2 é t 3 / 3 mais uma constante C da integral.

r t = 90 t 2 i + 90 t 2 - 16 3 t 3 j + C

Passo 2

Vamos descobrir quanto vale r para t = 0 :

r t = 90 t 2 i + 90 t 2 - 16 3 t 3 j + C

r 0 = 90 ⋅ 0 2 i + 90 ⋅ 0 2 - 16 3 ⋅ 0 3 j + C

r 0 = C

Passo 3

Mas da condição inicial, sabemos que r 0 = 100 j , então bora substituir para encontrar C.

r 0 = C

100 j = C

Agora sim podemos encontrar a equação r ( t ) :

r t = 90 t 2 i + 90 t 2 - 16 3 t 3 j + C

r t = 90 t 2 i + 90 t 2 - 16 3 t 3 j + 100 j

r t = 90 t 2 i + 90 t 2 - 16 3 t 3 + 100 j

E aí está a função vetorial! Bora pro próximo!

Resposta

r t = 90 t 2 i + 90 t 2 - 16 3 t 3 + 100 j

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