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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 38

Atingindo uma bola de beisebol com resistência linear Considere o problema de beisebol no Exemplo 5, em que existe uma resistência linear (veja o Exercício 37). Assuma um coeficiente de resistência k = 0,12, mas nenhuma rajada de vento.

a. A partir do Exercício 37, encontre uma forma vetorial para a trajetória da bola.

b. Que altura a bola alcança, e quando ela atinge a altura máxima?

c. Encontre o alcance e tempo de voo da bola.

d. Quando a bola está a 30 pés de altura? A que distância (medida pelo solo) a bola de beisebol está do rebatedor nessa altura?

e. Um alambrado de 10 pés de altura está a 340 pés do rebatedor na direção do voo da bola. O jogador do outro time pode pular e apanhar qualquer bola a uma altura de até 11 pés acima do solo para impedir que ela ultrapasse o alambrado. O rebatedor fez um home run? (Observação: se a bola passar por cima do alambrado, o jogador poderá dar uma volta no campo e marcar o ponto, conhecido como home run.)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos anotar as informações antes de tudo.

K = 0,12

Altura inicial: 3 pés.

Velocidade inicial: 152 pés/s.

Anglo de lançamento: 20°.

  1. A equação vetorial da posição você lembra bem,

    2. r t = x t i + y t j

    E a equação que descobrimos no exercício anterior é:

    r t = v 0 k 1 - e - k t cos ⁡ α i + y 0 + v 0 k 1 - e - k t s e n   α + g k 2 1 - k t - e - k t j

    Então só precisamos substituir os valores:

    r t = 152 0,12 1 - e - 0,12 t cos ⁡ 20 ° i + 3 + 152 0,12 1 - e - 0,12 t s e n   20 ° + 32 0,12 2 1 - 0,12 t - e - 0,12 t j

    Passo 2

  2. a altura máxima vai ser obtida derivando a equação de y em relação a t e calculando o tempo. Para isso, como a equação é bastante complexa e muito difícil de se resolver na mão, iremos utilizar a ferramenta Wolfram para resolver.

    3. d y d t = 0 = - 266.667   +   318.654   e - 0.12   t

    O tempo para a bola alcançar a altura máxima é 1,484 segundos, substituindo em y para descobrir a altura tempos que y é 40,435 pés.

    Passo 3

  3. Vamos encontrar primeiro o tempo de voo, sendo quando a bola atinge o solo, y é 0.

    4. Usando a ferramenta Wolfram para fazer a conta, descobrimos que a bola atinge 0 em 3,126 segundos.

    O alcance para esse tempo então é:

    x 3 , 126 = 152 0,12 1 - e - 0,12 ⋅ 3,126 cos ⁡ 20 °

    x 3 , 126 = 372,31 1   p é s

    Passo 4

  4. Para 30 pés de altura, só trocar y por 20. Utilizando novamente a ferramenta Wolfram, descobrimos que os tempos são 0,689 segundo e 2,305 segundos.

    5. O alcance para esses tempos, então, são:

    x 2,305 = 152 0,12 1 - e - 0,12 ⋅ 2,305 cos ⁡ 20 °

    x 2,305 = 287,621   p é s

    x   0,689   = 152 0,12 1 - e - 0,12 ⋅   0,689   cos ⁡ 20 °

    x   0,689   = 95,454   p é s

    Passo 5

  5. Vamos descobrir o t que a bola chega para rebatedor a 340 pés, para depois encontrar a altura que a bola atinge nesse tempo.

x   t   = 152 0,12 1 - e - 0,12 ⋅   t cos ⁡ 20 °

340 = 152 0,12 1 - e - 0,12 ⋅   t   cos ⁡ 20 °

t = 2,80   s

Vamos jogar em y agora para ver se passa o alambrado

y 2,8 = 3 + 152 0,12 1 - e - 0,12 t s e n   20 ° + 32 0,12 2 1 - 0,12 t - e - 0,12 t

y 2,8 = 14,13   p é s

Como o alambrado tem 10 pés e o máximo que o pegador pode pular é 11 pés, a bola ultrapassa e um home run pode ser feito.

Bora pro próximo!

Resposta

  1. r t = 152 0,12 1 - e - 0,12 t cos ⁡ 20 ° i + 3 + 152 0,12 1 - e - 0,12 t s e n   20 ° + 32 0,12 2 1 - 0,12 t - e - 0,12 t j
  2. y m a x = 40,435   p é s e t = 1 , 484   s .
  3. x 3 , 126 = 372,311   p é s .
  4. x 2,305 = 287,621   p é s e x 0 , 689 = 94,454   p é s
  5. Sim, a bola ultrapassa o pegador e o alambrado.

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Prove:c ) underset(H - vec 0)(lim) F (P + H) = L harr underset(X - P)(lim) F (X) = L .
Suponha que underset(X - P)(lim) F ( X ) = L , c o m L != 0 . Prove que existe r0 tal que:0||X - P||r - ||F (X)||(||L||)/(2)
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