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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 10

Determine a derivada da função vetorial.

r t = < t g   t , sec ⁡ t , 1 t 2 >  

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a derivar hoje.

Dada a função vetorial:

r t = < t g   t , sec ⁡ t , 1 t 2 >  

Devemos encontrar a derivada r ' t .

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = < x ' t , y ' t , z ' t >

Isso é, devemos derivar cada termo da nossa função vetorial.

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = < t g ( t ) , s e c ⁡ ( t ) , 1 t 2 >

Relembrando que:

d 1 x n d t = d x - n d t = - n x - n - 1 ,   n ≠ 0

Então:

x t = t g t

y t = sec ⁡ t

z t = t - 2

r t = < d t g t d t , d sec ⁡ t d t , d 1 t 2 d t >

As derivadas trigonométricas são tabeladas, você vai acabar lembrando delas com o tempo:

d t g t d t = sec 2 ⁡ t

E

d sec ⁡ t d t = sec ⁡ t ⋅ t g t

E

d 1 t 2 d t = d t - 2 d t = - 2 ⋅ t - 3

Temos então que nossa derivada é:

r ' t = < sec 2 ⁡ t , sec ⁡ t t g t , - 2 t 3 >

Resposta

r ' t = < sec 2 ⁡ t , sec ⁡ t t g t , - 2 t 3 >

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