Enunciado

Sejam G : A ⊂ R n → R m e F : B ⊂ R m → R p , com I m   G ⊂ B . Suponha G contínua em P ∈ A   e   F   contínua em G ( P ) . Prove que a composta H X = F ( G X ) é contínua em P .

Passo 1

Como F é contínua em G P ∈ B , temos que:

∀ ε > 0 ,   ∃ δ > 0 tal que ∀ Z ∈ B ,   Z - G P <   δ 1 → F Z - F G P <   ε .

Como G   é contínua em P ∈ A , para o δ 1 > 0 acima, ∃ δ > 0 tal que:

X - P < δ → G x - G P <   δ 1 .

Daí segue que ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 tal que ∀ X ∈ A ,

0 < X - P < δ → | F G x - F ( G P ) | < ε .

Logo, H X = F ( G X ) é contínua em P , como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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