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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 37

Deduza as equações

x = v 0 k 1 - e - k t cos ⁡ α

y = v 0 k 1 - e - k t sen ⁡ α + g k 2 1 - k t - e - k t

resolvendo o problema de valor inicial a seguir para um vetor r no plano.

Equação diferencial: d 2 r d t 2 = - g j - k v = - g j - k d r d t

Condições iniciais: r 0 = 0 e d r d t ​ t = 0 = v 0 = v 0 cos ⁡ α i + v 0   s e n   α j

Passo 1

Fala minha galera querida!! Mais um exercício de PVI, temos que achar as constantes e escrever a função vetorial r t = x t i + y t j , só que, dessa vez, deduzindo as equações de x e y.

Vamos ver o que conseguimos de bom!

Primeiro devemos ajeitar a equação diferencial:

d 2 r d t 2 = - g j - k d r d t

d 2 r d t 2 + k d r d t = - g j

r ' ' + k r ' = - g j

Temos duas funções então, P t = k e Q t = - g j .

Passo 2

Vamos integrar P ( t ) em dt,

∫ P ( t ) d t = ∫ k d t

∫ P ( t ) d t = k t

Jogando a exponencial dos dois lados, de acordo com o teorema do PVI, vamos chamar essa função de v(t) de acordo com o enunciado.

v t = e ∫ P ( t ) d t = e k t

Além disso, do mesmo teorema, temos que:

d r d t = 1 v t ∫ v t Q t d t

d r d t = 1 e k t ∫ e k t - g j d t

d r d t = - g e - k t e k t k j + C 1  

d r d t = - g k j - g C 1 e - k t

Passo 3

Vamos aplicar as condições iniciais.

d r d t ​ t = 0 = v 0 cos ⁡ α i + v 0   s e n   α j

- g k j - g C 1 e - k ⋅ 0 = v 0 cos ⁡ α i + v 0   s e n   α j

- g C 1 = v 0 cos ⁡ α i + g k + v 0   s e n   α j

Vamos reescrever a equação dr/dt.

d r d t = - g k j + v 0 cos ⁡ α i + g k + v 0   s e n   α e - k t

d r d t = v 0 e - k t cos ⁡ α i + - g k + e - k t v 0   s e n   α + g k j

Passo 4

Vamos passar dt para o outro lado e integrar

∫ d r = ∫ v 0 e - k t cos ⁡ α i + - g k + e - k t v 0   s e n   α + g k j d t

r = - v 0 k e - k t cos ⁡ α i + - g t k + e - k t k g k + v 0 s e n   α j + C 2

E agora aplicar a outra condição inicial.

r 0 = 0 = - v 0 k e - k ⋅ 0 cos ⁡ α i + - g ⋅ 0 k + e - k ⋅ 0 k g k + v 0 s e n   α j + C 2

C 2 = v 0 k cos ⁡ α i + g k 2 + v 0   s e n   α k j

Reescrevendo a equação e chegando na resposta final.

r = - v 0 k e - k t cos ⁡ α i + - g t k + e - k t k g k + v 0 s e n   α j + v 0 k cos ⁡ α i + g k 2 + v 0   s e n   α k j

r t = v 0 k 1 - e - k t cos ⁡ α i + v 0 k 1 - e - k t s e n   α + g k 2 1 - k t - e - k t j

Bora pro próximo!

Resposta

r t = v 0 k 1 - e - k t cos ⁡ α i + v 0 k 1 - e - k t s e n   α + g k 2 1 - k t - e - k t j .

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