Uma partícula de massa desloca-se sobre o eixo sob a ação da força elástica e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por . Determine a equação horáriado movimento supondo

Imagine que temos uma bancada ou uma mesa, e que a largura da mesa é o eixo, em cima dessa mesa temos uma partícula que está sofrendo uma força elástica e uma força de amortecimento proporcional a velocidade.

Vamos entender o que tudo isso quer dizer:

A velocidade é sendo que nosso espaço é o quanto a partícula desloca no eixo , ou seja:

Essa força de amortecimento é proporcional à velocidade, ou seja, tem um coeficiente de proporcionalidade que multiplica a velocidade e temos essa força de amortecimento. No caso dado é , assim temos que a (o quer dizer que ele está no sentido contrário ao eixo ).

A força elástica é dada por:

Para esse caso por isso temos: (o quer dizer que ele está no sentido contrário ao eixo ).

Sabemos que o somatório de forças em é igual a

Sendo que o exercício diz que e sabemos que que, como já vimos acima, como ela se desloca sobre o eixo teremos:

Assim:

Passo 2

Agora que sabemos qual a relação com as forças vamos tentar achar a relação

Se usarmos, para esse caso que , assim:

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

Para o caso dado só temos , assim:

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que :

Identificados os valores de, podemos Agora reescrever o pelo teorema que diz que se temos duas raízes da equação característica (ou seja, a função ), então se são números complexos podemos afirmar que:

Lembrando que:

Para o nosso caso:

Assim, substituindo os valores de :

Passo 3

Agora que achamos essas duas relações podemos substituir os valores:

Assim: