Determine, dentre os paralelepípedos-retângulos de mesmo volume, o de área máxima.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Para uma caixa de lados a , b e c , maximize a função área A a , b , c , sendo o volume constante”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Note que a área superficial da figura geométrica em questão é A = 2 a b + a c + b c , enquanto que o volume é V = a b c .

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = 2 a b + a c + b c  

g =   a b c - V

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o volume deve ser V ).

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ a , ∂ f ∂ b , ∂ f ∂ c = 2 b + 2 c , 2 a + 2 c , 2 a + 2 b

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ a , ∂ g ∂ b , ∂ g ∂ c = b c , a c , a b

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

2 b + 2 c , 2 a + 2 c , 2 a + 2 b = λ b c , a c , a b   a b c - V = 0

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

2 b + 2 c = λ b c 2 a + 2 c = λ a c 2 a + 2 b = λ a b     a b c = V

Sisteminha complicado! Vamos dividir a primeira equação pela segunda. O resultado é

b + c a + c = b a

O que implica de imediato que a = b .

Do mesmo modo, dividindo a terceira equação pela primeira, achamos

a + b b + c = a c

O que, tomando b = a , nos leva de imediato até c = a . Ou seja, todos os lados devem ter o mesmo valor, digamos a = b = c = L ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:

a b c = L 3 = V

Ou seja, temos que a caixa de máxima área será um cubo, com cada lado tendo exatamente o mesmo comprimento!

Resposta

Cubo

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