Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 18
Determine, dentre os paralelepípedos-retângulos de mesmo volume, o de área máxima.
Passo 1
Um enunciado mais claro para este problema seria: “Para uma caixa de lados , e , maximize a função área , sendo o volume constante”. Aí pronto! Matamos o enunciado!
Note que a área superficial da figura geométrica em questão é , enquanto que o volume é .
Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma (no caso, o volume deve ser ).
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Sisteminha complicado! Vamos dividir a primeira equação pela segunda. O resultado é
O que implica de imediato que .
Do mesmo modo, dividindo a terceira equação pela primeira, achamos
O que, tomando , nos leva de imediato até . Ou seja, todos os lados devem ter o mesmo valor, digamos ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:
Ou seja, temos que a caixa de máxima área será um cubo, com cada lado tendo exatamente o mesmo comprimento!
Resposta
Cubo