Uma partícula se move no espaço com vetor posição r(t) . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de t .

b) r(t) = (1 - t) i + (1 + t) j; t = 1; 2

Passo 1

Nessa questão temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do espaço e a aceleração é a derivada da velocidade. Show? Então vem comigo!

O vetor posição é o seguinte:

r → t = 1 - t   i → + 1 + t   j →

Então para acharmos a velocidade, basta derivarmos r → t . Derivando,

v → t = - 1 i → + 1 j →

Para encontrarmos o vetor aceleração, vamos derivar v → t . Logo,

a → t = 0 i → + 0 j →

Passo 2

Agora vamos encontrar da velocidade nos instantes t = 0 e t = 1 .

v → t = - 1 i → + 1 j →

Como nesse caso a expressão do vetor velocidade não depende de tempo, teremos a mesma velocidade tanto em t = 1 como em t = 2 . Logo,

v → 1 =   v → 2 = - 1 i → + 1 j →

Passo 3

Já para aceleração, temos o seguinte:

a → t = 0 i → + 0 j →

Repare que aqui temos a mesma coisa que aconteceu com a velocidade, a expressão da aceleração não depende do tempo. Assim, teremos a mesma aceleração em t = 1 e t = 2 . Logo,

a → 1 = a → 2 = 0 i → + 0 j →

Passo 4

Por fim, vamos fazer um esboço da trajetória da partícula.

r → t = 1 - t   i → + 1 + t   j →

Fazendo um esboço:

Resposta

Para qualquer instante t :

v → t = - 1 i → + 1 j →

a → t = 0 i → + 0 j →

Para t = 1 :

v → 1 = - 1 i → + 1 j →

a → 1 = 0 i → + 0 j →

Para t = 2 :

v → 2 = - 1 i → + 1 j →

a → 2 = 0 i → + 0 j →

Esboço da trajetória:

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