Uma partícula se move no espaço com vetor posição r(t) . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de t .

a) r(t) = t + 4i + 4 - t^2j + 4k; t = 0; 2

Passo 1

Nessa questão temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do espaço e a aceleração é a derivada da velocidade. Show? Então vem comigo!

O vetor posição é o seguinte:

r → t = t   i → + 4   j → + 4 - t 2 k →

Então para acharmos a velocidade, basta derivarmos r → t . Derivando,

v → t = 1   i → + 0   j → + - 2 t k →

Isto é,

v → t = 1 i → + 0 j → - 2 t   k →

Para encontrarmos o vetor aceleração, vamos derivar v → t . Assim,

a → t = 0 i → + 0 j → - 2 k →

Passo 2

Agora vamos encontrar da velocidade nos instantes t = 0 e t = 2 .

v → t = 1 i → + 0 j → - 2 t   k →

No instante t = 0 :

v → 0 = 1 i → + 0 j → - 2 × 0 k →

Logo,

v → 0 = 1 i → + 0 j → - 0 k →

No instante t = 2 :

v → 2 = 1 i → + 0 j → - 2 × 2   k →

Isto é,

v → 2 = 1 i → + 0 j → - 4   k →

Passo 3

Já para aceleração, temos o seguinte:

a → t = 0 i → + 0 j → - 2 k →

Como nesse caso a aceleração não depende de tempo, teremos a mesma aceleração tanto em t = 0 como em t = 2 . Logo,

a → 0 = a → 2 = 0 i → + 0 j → - 2 k →

Passo 4

Por fim, vamos fazer um esboço da trajetória da partícula.

r → t = t   i → + 4   j → + 4 - t 2 k →

Repare que no eixo y a nossa partícula sempre está no ponto 4 . Como temos uma aceleração constante, teremos uma trajetória no formato de uma parábola. Fazendo um esboço:

Resposta

Para qualquer instante t :

v → t = 1 i → + 0 j → - 2 t   k →

a → t = 0 i → + 0 j → - 2 k →

Para t = 0 :

v → 0 = 1 i → + 0 j → - 0 k →

a → 0 = 0 i → + 0 j → - 2 k →

Para t = 2 :

v → 2 = 1 i → + 0 j → - 4   k →

a → 2 = 0 i → + 0 j → - 2 k →

Esboço da trajetória:

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O vetor aceleração A(t).
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