Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 8a
Uma partícula se move no espaço com vetor posição . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de .
a)
Passo 1
Nessa questão temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do espaço e a aceleração é a derivada da velocidade. Show? Então vem comigo!
O vetor posição é o seguinte:
Então para acharmos a velocidade, basta derivarmos . Derivando,
Isto é,
Para encontrarmos o vetor aceleração, vamos derivar . Assim,
Passo 2
Agora vamos encontrar da velocidade nos instantes e .
No instante :
Logo,
No instante :
Isto é,
Passo 3
Já para aceleração, temos o seguinte:
Como nesse caso a aceleração não depende de tempo, teremos a mesma aceleração tanto em como em . Logo,
Passo 4
Por fim, vamos fazer um esboço da trajetória da partícula.
Repare que no eixo a nossa partícula sempre está no ponto . Como temos uma aceleração constante, teremos uma trajetória no formato de uma parábola. Fazendo um esboço:
Resposta
Para qualquer instante :
Para :
Para :
Esboço da trajetória:
