Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.9 - Ex. 27
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação corretas até a oitava casa decimal. Comece fazendo um gráfico para encontrar a primeira aproximação inicial.
Passo 1
Fala aí, eu sou o Rafha do Responde Aí e vou te ajudar aqui.
Nessa questão temos a seguinte equação:
E queremos encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.
Para isso vamos usar um método iterativo que é o método de Newton.
O método de Newton encontra as raízes de uma função de forma que:
Reescrevendo nossa equação encontramos a função que queremos achar as raízes:
Logo,
No método de Newton, basicamente, nós começamos com um chute inicial para essa raiz.
E para encontrar o próximo valor, faremos a seguinte iteração:
O enunciado pede para encontrarmos a raíz com uma precisão de oito casas decimais. Bora lá?
Passo 2
Queremos encontrar as raízes da funç��o:
Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:
Temos:
Sua derivada será portanto:
Então a fórmula fica:
Eu posso pegar o sinal negativo que está multiplicando e multiplicar o denominador da fração para facilitar as contas:
Agora basta escolher uma aproximação inicial adequada, e então aplicar a fórmula até os resultados não diferirem na sexta casa decimal.
Passo 3
Para escolher o valor inicial olhamos um esboço das funções e .
Os pontos onde elas se interceptam são pontos onde:
Que são as raízes que queremos encontrar:
Temos duas raízes, uma entre 0 e -1 e uma entre 1 e 2. Usaremos para a primeira raiz uma aproximação , e para o segundo .
Passo 4
Vamos calcular a primeira raiz.
Calculamos as próximas aproximações (vai vir um paredão de contas agora, mas não se assuste, o procedimento é sempre o mesmo...)
Como e não diferem até a oitava casa decimal:
Achamos a primeira raiz!
Passo 5
Fazemos o mesmo procedimento para achar a outra raiz:
Como e não diferem até a oitava casa decimal:
Achamos a segunda raiz!