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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 55

Uma partícula move-se em linha reta, s cm é a distância orientada dapartícula à origem em t s, v cm/s é a velocidade da partícula em t s e a cm/s² é a sua aceleração em t s. Sabendo que a = 6 cos ⁡ 2 t e v = 3 e s = 4 quando t = π 2 , expresse v e s em termos de t .

Passo 1

Como a t = v ' ( t ) , podemos obter a expressão de v ( t ) integrando a aceleração.

v t = ∫ 6 cos ⁡ 2 t   d t = 6 ⋅ sen ⁡ 2 t 2 + C = 3 sen ⁡ 2 t + C

Mas v π 2 = 3 , então:

3 sen ⁡ 2 ⋅ π 2 + C = 3 ⇒ C = 3 - 3 sen ⁡ π = 3

E então:

v t = 3 sen ⁡ 2 t + 3

Passo 2

Podemos agora integrar a expressão da velocidade para obter a posição s ( t ) :

s t = ∫ 3 sen ⁡ 2 t + 3 d t = 3 ⋅ - cos ⁡ 2 t 2 + 3 t + C 2 = - 3 cos ⁡ 2 t 2 + 3 t + C 2

Mas s π 2 = 4 , então:

- 3 cos ⁡ 2 ⋅ π 2 2 + 3 ⋅ π 2 + C 2 = 4 ⇒ C 2 = 4 + 3 cos ⁡ π 2 - 3 π 2 = 4 - 3 2 - 3 π 2 = 5 - 3 π 2

Então, finalmente:

s t = - 3 cos ⁡ 2 t 2 + 3 t + 5 - 3 π 2 = - 3 cos ⁡ 2 t + 6 t + 5 - 3 π 2

Resposta

v t = 3 sen ⁡ 2 t + 3

s t = - 3 cos ⁡ 2 t + 6 t + 5 - 3 π 2

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