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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 8

Uma partícula move-se ao longo de um eixo s . Use a informação dada para encontrar sua função posição:

a )   v t = t 2 3

b )   a t = t       v 4 = 1 ,     s 4 = - 5

Passo 1

Fala aí, como vai?

Pra essas questões você tem que ter em mente umas coisinhas sobre posição, velocidade e aceleração.

Resumindo pra você, é o seguinte:

s t = ∫ v t   d t

v t = ∫ a t   d t

Sabendo disso fica mais fácil né?

Bora lá então...

Passo 2

  1. Aqui a gente tem v ( t ) e quer s ( t ) . A gente já sabe que é só integrar:

    2. s t = ∫ t 2 3   d t = 3 5 t 5 3 + C

    Agora a gente aplica a condição inicial de s 8 = 0 para achar o valor desse C aí:

    s 2 = 3 5 8 5 / 3 + C = 0

    C =   - 3 5 8 5 3

    C =   - 3 5 32

    C =   - 96 5

    Nossa função posição então é:

    s t = 3 5 t 5 3 - 96 5

    Passo 3

  2. Agora aqui a gente tem a aceleração e quer a posição.

Vamos por partes. Primeiro a gente vai achar a função velocidade, fechou?

Bora!

v t = ∫ t   d t = 2 3 t 3 2 + C

E a gente tem a condição de que v 4 = 1 . Então...

v 4 = 2 3 4 3 / 2 + C = 1

2 3 8 + C = 1

C = 1 - 16 3 =   - 13 3

A função velocidade então é:

v t = 2 3 t 3 2 - 13 3

Passo 3

Agora que a gente tem a função velocidade, a gente integra e acha a função posição:

s t = ∫ 2 3 t 3 2 - 13 3   d t = 4 15 t 5 2 - 13 3 t + K  

E usando a condição inicial que s 4 = - 5 , a gente tem:

s 4 = 4 15 4 5 2 - 13 3 4 + K = - 5

= 128 15 - 52 + K = - 5

K = 47 - 128 15 = 577 15

Então a função posição é:

s t =   4 15 t 5 2 - 13 3 t + 577 15

E acabamos😉

Resposta

  1. s t = 3 5 t 5 3 - 96 5
  2. s t =   4 15 t 5 2 - 13 3 t + 577 15
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Deduza as fórmulas para as funções posição e velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo com movimento uniformemente acelerado.
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