Calcule a integral.

int_1^3 r^3 ln r d r

Passo 1

Opa, a gente deve calcular a seguinte integral:

int_1^3 r^3 ln r d r

Para isso, devemos utilizar a integração por partes, que é dada da seguinte forma:

int u d v = u v - int v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte algébrica e uma logarítmica. Então diremos que:

u = ln r

d v = r^3 d r

Passo 2

Agora precisamos de achar d u e v :

u = ln r

d v = r^3 d r

(d u)/(d r) = (1)/(r)

int d v = int r^3 d r

v = [(r^4)/(4)]_1^3

Montando a integral por partes:

[ln r (r^4)/(4)]_1^3 - int_1^3 (r^3)/(4) d r

Passo 3

Agora a gente integra:

(1)/(4) int_1^3 r^3 d r

Integrando:

(1)/(4) int_1^3 r^3 d r = [(r^4)/(8)]_1^3

Juntando tudo:

= (81)/(4) ln 3 - 0 - [(r^4)/(8)]_1^3

= (81)/(4) ln 3 - (1)/(16) (81 - 1)

= (81)/(4) ln 3 - 5

Prontinho!

Resposta

(81)/(4) ln 3 - 5

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