Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 43
Um tanque com a forma de um hemisfério tem sobre si um cilindro circular reto. O raio de ambos, o hemisfério e o cilindro, é 4 m e a altura do cilindro é de 8 m. Se o tanque estiver cheio de água, ache o trabalho necessário para esvaziar o tanque bombeando água através de uma abertura na borda do tanque. Tome a aceleração da gravidade como sendo 10 m/
Passo 1
Vou colocar uma foto de um hemisfério com um cilindro reto, caso você não saiba:
Como ideia inicial, devemos escolher o eixo positivo com direção para baixo por ser um movimento vertical.
A origem será no centro do hemisfério.
Temos um certo problema, pois temos dois elementos de natureza especial diferentes, um é hemisfério e o outro é um cilindro.
Então vamos fazer os trabalhos um de cada vez. Chamaremos de o trabalho no cilindro e o trabalho no hemisfério. Queremos a soma desses dois trabalhos!
Passo 2
Vamos para primeiro:
será um ponto qualquer no intervalo e iremos escolher uma partição de Lembra que a origem é no centro do hemisfério hein!
Será igualmente para , apenas a partição irá mudar será de
Vamos pensar no nosso elementinho para os dois casos, a espessura será a mesma. Tranquilo? Será o nosso
Pensando no cilindro (,temos que o raio do elementinho é igual ao raio do cilindro e poderemos calcular a área, desse jeito!
O volume do elementinho para o cilindro será:
Agora vamos pensar no hemisfério, temos que o raio de elementinho é a coordenada em , porém sabendo que a posição em é dada por :
A área será:
O volume para o elementinho do hemisfério será:
Passo 3
O peso de de água, vamos chamar de .
A distância percorrida pelo elementinho será:
O peso do elementinho do cilindro será:
E o trabalho do elementinho do cilindro vai ser isso aqui ó:
Pensando em todos os elementinho teremos do cilindro, teremos:
E agora tentaremos achar e vamos conseguir!
A distância percorrida é a mesma nos dois casos!
O peso do elementinho do hemisfério será:
O trabalho do pequeno elemento:
Agora para todos os elementos, é essa paradinha aqui!
Calculando essa integral temos:
Para terminar, somaremos o e :