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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 40

O trabalho necessário para esticar uma mola de 22cm até 25cm é 3 2 vezes o trabalho necessário para esticar a mola de 20 para 22cm. Qual o comprimento natural da mola?

Passo 1

Vamos fazer essa questão lembrando da Lei de Hooke, caso não lembre irei te ajudar:

Se uma mola for esticada x unidades além do seu comprimento natural, ela tende a voltar ao normal, exercendo uma força igual a k x unidades, de um jeito que quem faz exatas gosta, é assim ó:

F = k x

Preste bastante atenção quando ele diz x unidades além do seu comprimento original!

Passo 2

Já sabemos então que o trabalho para esticar uma mola de um comprimento L 0 até um comprimento L 0 + x , será dado pela integral abaixo:

W = ∫   L 0   L 0 + x k x d x

Para a nossa questão, a mola não sai do seu comprimento inicial, e agora? Apenas o nosso limite de integração irá mudar. Os limites serão dados p e l o   c o m p r i m e n t o   d a   m o l a   –   m e n o s   o   c o m p r i m e n t o   i n c i a l   d a   m o l a

Para a primeira situação temos um comprimento inicial de 22 , logo uma distensão de 22 -   L 0 . E temos um comprimento final de 25 , logo uma distensão de 25 -   L 0 . Aí vem a pergunta.

Eles serão nossos limites de integração?

E a resposta é sim! 22 -   L 0 e 25 -   L 0 serão os limites inferior e superior respectivamente!

Para a segunda situação, teremos a mesma coisa, apenas os números irão mudar:

temos um comprimento inicial de 2 0 , logo uma distensão de 2 0 -   L 0 . E temos um comprimento final de 22 , logo uma distensão de 22 -   L 0 .

E eles serão os nossos limites de integração!

Passo 3

Nesse passo vamos nos importar apenas com a integração, faremos separadamente para não causar qualquer tipo de confusão, então vamos lá! O trabalho da primeira situação será:

W 1 = ∫ 22 - L 0 25 - L 0 K x d x = K x 2 2 25 - L 0 22 - L 0 = K 2 141 - 6 L 0

O trabalho da segunda situação, será:

W 2 = ∫ 20 - L 0 22 - L 0 K x d x = K x 2 2 22 - L 0 20 - L 0 = K 2 84 - 4 L 0

O problema nos dizia que:

W 1 = 3 2 W 2

Substituindo para acharmos L 0 :

Porém teremos um problema, já que acharemos algo que é sempre um absurdo:

K 2 141 - 6 L 0 = 3 2 K 2 84 - 4 L 0

282 - 12 L 0 = 252-12 L 0

30 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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