Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 40
O trabalho necessário para esticar uma mola de 22cm até 25cm é vezes o trabalho necessário para esticar a mola de 20 para 22cm. Qual o comprimento natural da mola?
Passo 1
Vamos fazer essa questão lembrando da Lei de Hooke, caso não lembre irei te ajudar:
Se uma mola for esticada unidades além do seu comprimento natural, ela tende a voltar ao normal, exercendo uma força igual a unidades, de um jeito que quem faz exatas gosta, é assim ó:
Preste bastante atenção quando ele diz unidades além do seu comprimento original!
Passo 2
Já sabemos então que o trabalho para esticar uma mola de um comprimento até um comprimento , será dado pela integral abaixo:
Para a nossa questão, a mola não sai do seu comprimento inicial, e agora? Apenas o nosso limite de integração irá mudar. Os limites serão dados
Para a primeira situação temos um comprimento inicial de , logo uma distensão de . E temos um comprimento final de , logo uma distensão de . Aí vem a pergunta.
Eles serão nossos limites de integração?
E a resposta é sim! e serão os limites inferior e superior respectivamente!
Para a segunda situação, teremos a mesma coisa, apenas os números irão mudar:
temos um comprimento inicial de , logo uma distensão de . E temos um comprimento final de , logo uma distensão de .
E eles serão os nossos limites de integração!
Passo 3
Nesse passo vamos nos importar apenas com a integração, faremos separadamente para não causar qualquer tipo de confusão, então vamos lá! O trabalho da primeira situação será:
O trabalho da segunda situação, será:
O problema nos dizia que:
Substituindo para acharmos :
Porém teremos um problema, já que acharemos algo que é sempre um absurdo:
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Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)