Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 42
Um tanque com a forma de um hemisfério, tendo um diâmetro de 10m, está cheio com água até uma profundidade de 3m. Ache o trabalho realizado ao bombear a água até a borda do tanque.
Passo 1
Colocar uma foto de um hemisfério, caso você não saiba:
Como ideia inicial, devemos escolher o eixo positivo com direção para baixo por ser um movimento vertical.
A origem será o topo do reservatório e a repartição será no intervalo .
Essa é uma questão que usaremos a Soma de Riemann, então chamaremos de um ponto qualquer nesse intervalo .
Apenas um comentário sobre o que escrevemos acima, não liga muito para a formalidade, pense nesse intervalo como dois pontos de alturas distintas. Melhorou né!
Passo 2
Agora vem a parte de imaginar, pode parecer a pior parte, mas eu te garanto que depois de um tempo você terá facilidade com isso!
Pensaremos num elemento muito fino de mesma forma da superfície do reservatório. Qual é o raio desse elementinho?
Falamos que o eixo é para baixo positivo, então o raio desse elementinho será a distância perpendicular ao eixo . Não esquenta é o eixo . Essa distância será o ponto em :
Sabendo que o raio da esfera é 5m, temos quem em :
E a área do elementinho será:
Belezaa! Agora com a área calculada e com a espessura definida, teremos o volume dado por:
Passo 3
Vamos agora pensar no Peso da água para , lembrando que e gravidade igual a , temos que multiplicar a gravidade pela densidade e temos:
Voltamos a pensar no elementinho, qual será a força sobre ele?
Ora, será o peso de multiplicado pelo seu volume:
Já temos o peso, que é uma força, o que precisamos para o trabalho??
Isso aí, a distância e como faremos?
Imaginaremos que seja muito próximo! O que vai acontecer com a posição? Será igual a , pois ele apenas vai percorrer dentro do tanque!!!
O trabalho do elementinho será:
Pensando em todos os elementinho teremos:
Para finalizar! Ufaaa, calcularemos essa integral: