A partir do Exercício 57, o polinômio f(x) = x^3 + b*x^2 + 1 tem um ponto de inflexão. Use um recurso gráfico computacional para tirar conclusões sobre o papel da constante b na localização do ponto de inflexão. Use f'' para explicar o que observou graficamente.

Passo 1

Então galera, de início vamos encontrar esse ponto de inflexão que o enunciado comentou, ok? Para fazermos isso temos que encontrar a derivada segunda da nossa função e igualar a zero, se liga:

f x = x 3 + b x 2 + 1

Derivando pela primeira vez:

f ' x = 3 x 2 + 2 b x

Pela segunda vez:

f ' ' x = 6 x + 2 b

Ok, agora que derivamos vamos igualar a zero:

6 x + 2 b = 0

x = - b 3

De fato a questão está certa, a função em questão só possui um ponto de inflexão, que é exatamente em x = - b 3 .

Passo 2

Antes de analisarmos b , vamos plotar o gráfico de f :

Neste gráfico fizemos b = 1 . Quando alteramos o valor de b o gráfico muda de comportamento, mas de duas maneiras: quando b < 1 o ponto de inflexão é deslocado para a direita e quando b > 1 o ponto de inflexão é deslocado para a esquerda. E essa é a nossa análise do problema, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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