Enunciado

Uma pedra é abandonada de um posto de observação da torre C N , 450   m acima do solo.

a Determine a distância da pedra acima do nível do solo no instante t .

b Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo?

c Com que velocidade ela atinge o solo?

d Se a pedra for atirada para baixo com uma velocidade de 5 m / s , quanto tempo levará para que ela atinja o solo?

Passo 1

E aí, pessoal! 😁

Bom, galera... nesse exercício queremos tirar conclusões a respeito de uma pedra abandonada de um posto de observação a 450 m do solo.

Para isso, iremos utilizar o conceito de antiderivada para encontrar as funções velocidade e posição da pedra.

Veja só! 😬

Passo 2

( a ) Como a pedra parte da torre de observação, podemos tirar as seguintes conclusões

v 0 = 0 ,     s 0 = 450

Ao cair, a aceleração da pedra é a aceleração gravitacional g = 9.8 m / s .

Dessa forma, a t = - 9.8 , pois a aceleração está agindo no sentido negativo. Podemos então encontrar a velocidade da pedra utilizando a antiderivada

a t = - 9.8

v t = - 9.8 t + C

Derivando v ( t ) temos

v ' t = - 9.8 = a ( t )

Dessa forma, a função v ( t ) é a antiderivada de a ( t ) . Podemos encontrar a equação da posição da pedra s ( t ) utilizando a antiderivada em v ( t ) .

v t = - 9.8 t + C

s t = - 9.8 t 2 2 + C t + D

Podemos encontrar as constantes C e D utilizando as condições iniciais encontradas. Aplicando v 0 = 0 , temos

v t = - 9.8 t + C

v 0 = - 9.8 0 + C

Dessa forma, C = 0 . Aplicando agora s 0 = 450 , temos

s t = - 9.8 t 2 2 + D

s 0 = - 9.8 0 2 2 + D

Dessa forma, D = 450 e a função posição é

s t = - 9.8 t 2 2 + 450

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

b A pedra atinge o solo em s t = 0 . Assim

s t = - 9.8 t 2 2 + 450

0 = - 9.8 t 2 2 + 450

Resolvendo a equação e desprezando o resultado negativo, temos

t = 9.58 s

Bacana, não é? 😎

Passo 4

c A velocidade quando a pedra atinge o solo é v ( 9.58 ) . Substituindo em v ( t ) , temos

v t = - 9.8 t

v 9.58 = - 9.8 9.58

v 9.58 = - 93.88 m / s

Está acompanhando? 😐

Passo 5

d Nesse caso, temos uma nova condição, que é v 0 = 5 . Aplicando na equação da velocidade encontrada, temos

v t = 9.8 t + C

v 0 = 9.8 0 + C

C = - 5

Dessa forma, a equação da posição é

s t = - 9.8 t 2 2 - 5 t + 450

Em s t = 0 , temos

0 = - 9.8 t 2 2 - 5 t + 450

Resolvendo a equação do segundo grau e desprezando o resultado negativo temos

t = 9.09 s

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

( a ) s t = - 9.8 t 2 2 + 450

( b ) t = 9.58 s

( c ) v 9.58 = - 93.88 m / s

d t = 9.09 s

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