Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 79
Um trem-bala de alta velocidade acelera e desacelera a uma taxa de m/s² . Sua velocidade máxima é de km/h.
(a) Qual será a distância máxima percorrida pelo trem se ele acelerar a partir do repouso até atingir a velocidade de cruzeiro e permanecer nessa velocidade por minutos?
(b) Suponha que o trem comece a partir do repouso e então pare completamente em minutos. Que distância máxima ele poderá percorrer nessas condições?
(c) Encontre o tempo mínimo para o trem viajar entre duas estações consecutivas, distantes km uma da outra.
(d) A viagem de uma estação para outra leva minutos. Qual a distância entre as estações?
Passo 1
O primeiro passo é a gente transformar a velocidade que estão em km/h para m/s, para temos as duas variáveis na mesma medida, então:
Como , temos como primitiva:
Observe que , logo:
Com isso, sabemos que leva segundos o trem atingir a velocidade de .
Uma vez que , é a primitiva de e em , temos:
Fazendo
Passo 2
Encontramos a distância em 33 segundos, agora precisamos encontrar no resto do tempo:
segundos
Portanto, para , com a velocidade de , temos:
Passo 3
Como na parte (a), o trem irá acelerar por segundos, quando chegará na velocidade de , e similarmente, levará o mesmo tempo para desacelerar, tendo segundos entre essas duas coisas. Mas agora, com um tempo total de minutos, teremos um tempo restante de:
segundos
Logo, a distância total viajada é:
Passo 4
Nós já sabemos que o trem leva segundos para acelerar e desacelerar e assim percorre , então subtraímos esse valor da distância total:
Agora, para encontrarmos o tempo, é só dividir a distância pela velocidade, então:
O tempo total é .
Passo 5
Vamos encontrar esse tempo em segundos:
Agora quanto tempo estamos na velocidade máxima
na velocidade máxima.
Agora para encontrar a distância, vamos encontrar o quanto andamos na distância máxima e depois somamos com a distância percorrida ao acelerar e ao desacelerar (que é a mesma )