Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.

v t = 1,5 t ,             s 4 = 10 .

Passo 1

Oi! Tudo certinho? O enunciado quer que a gente encontre a posição de uma partícula que está se movendo e, para isso, ele nos dá algumas informações a respeito desse movimento.

Vamos olhar cada informação com calma? Bora lá!

  • A função v t = 1,5 t representa a velocidade dessa partícula.
  • O valor s 4 = 10 é a posição da partícula em t = 4 . Fica ligado que a função s (t) é a função que representa a posição da partícula no tempo t , ou seja, a função que queremos encontrar.
  • A velocidade é a derivada da posição, ou seja: v t = s ' t .

Então, a função posição s ( t ) é uma função que tem como derivada a função velocidade v t , certo? Mas dizer isso é a mesma coisa que dizer que a função s ( t ) é a antiderivada da função v ( t ) .

Ótimo! Sabendo disso, para encontrarmos a função s ( t ) precisamos encontrar a antiderivada da função

v t = 1,5 t ,

que satisfaça s 4 = 10 .

Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:

  • A antiderivada de uma potência t n é dada por

G t =   t n + 1 n + 1 + C ,

com C uma constante qualquer, pois a derivada de G (usando a Regra da Potência para derivadas) é:

d d t t n + 1 n + 1 + C = t n .

O valor de n só não poder ser - 1 , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?

Pronto! Agora temos tudo que precisamos para resolver essa questão🎉.

Passo 2

Como v t = 1,5 t , então utilizando a Regra da Potência temos

s t = 1,5 t 1 2 + 1 1 2 + 1 + C = 1,5 2 3 t 3 2 + C ,

onde podemos reescrever a expressão da direita, fazendo D = 1,5 C , da seguinte forma

s t = t 3 2 + D .

A função s t encontrada é uma antiderivada geral da função v ( t ) , pois observe que como D é uma constante qualquer, então temos várias funções v ( t ) satisfazendo

v ' t = 1,5 t .

Mas qual dessas funções v ( t ) é a que queremos 🤔? Espia só o próximo passo!

Passo 3

Descobrimos no passo anterior que

s t = t 3 2 + D ,

e, pelo enunciado, sabemos que a posição da partícula em t = 4 é

s 4 = 10 .

Vamos utilizar essa informação para encontrar um valor específico para a constante D , e como consequência, a antiderivada s ( t ) que estamos procurando.

Avaliando a função s ( t ) em t = 4 :

s 4 = 4 3 2 + D ,

ou seja,

10 = s 4 = 4 3 2 + D .  

Como

4 3 2 =   4 3 =   64 ,

então o valor de D é:

D = 10 - 8 = 2 .

Com isso, a função posição que satisfaz o enunciado da questão é:

s t = t 3 2 + 2 .

Resposta

A posição de uma partícula com velocidade dada pela função

v t = 1,5 t ,

e posição no tempo t = 4 igual a 10 é:

s t = t 3 2 + 2 .

Para conferir que a resposta está certa, derive a função s ( t ) e veja se você obtém a função v t do enunciado, pois sabemos que vale:

v t = s ' t .

Além disso, avaliando a função s t em t =   4 , você deve obter s 4 = 10 .

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