Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 60
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.
Passo 1
Oi! Tudo certinho? O enunciado quer que a gente encontre a posição de uma partícula que está se movendo e, para isso, ele nos dá algumas informações a respeito desse movimento.
Vamos olhar cada informação com calma? Bora lá!
- A função representa a velocidade dessa partícula.
- O valor é a posição da partícula em . Fica ligado que a função (t) é a função que representa a posição da partícula no tempo , ou seja, a função que queremos encontrar.
- A velocidade é a derivada da posição, ou seja:
Então, a função posição é uma função que tem como derivada a função velocidade , certo? Mas dizer isso é a mesma coisa que dizer que a função é a antiderivada da função .
Ótimo! Sabendo disso, para encontrarmos a função precisamos encontrar a antiderivada da função
que satisfaça .
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:
- A antiderivada de uma potência é dada por
com uma constante qualquer, pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Pronto! Agora temos tudo que precisamos para resolver essa questão🎉.
Passo 2
Como então utilizando a Regra da Potência temos
onde podemos reescrever a expressão da direita, fazendo da seguinte forma
A função encontrada é uma antiderivada geral da função , pois observe que como é uma constante qualquer, então temos várias funções satisfazendo
Mas qual dessas funções é a que queremos 🤔? Espia só o próximo passo!
Passo 3
Descobrimos no passo anterior que
e, pelo enunciado, sabemos que a posição da partícula em é
Vamos utilizar essa informação para encontrar um valor específico para a constante , e como consequência, a antiderivada que estamos procurando.
Avaliando a função em :
ou seja,
Como
então o valor de é:
Com isso, a função posição que satisfaz o enunciado da questão é:
.
Resposta
A posição de uma partícula com velocidade dada pela função
e posição no tempo igual a é:
Para conferir que a resposta está certa, derive a função e veja se você obtém a função do enunciado, pois sabemos que vale:
Além disso, avaliando a função em , você deve obter .