Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 63
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.
Passo 1
Fala meu povo bonito!
Nessa questão nós temos a aceleração que é:
E nos é dado que e que .
E queremos encontrar a posição da partícula
Nessa questão, nós vamos usar que a aceleração é a segunda derivada da posição:
Para chegar à posição a partir da aceleração, então fazemos o caminho contrário: aplicamos duas vezes a antiderivada.
Primeiro aplicamos a antiderivada para encontrar , a velocidade.
Depois fazemos o processo novamente, para chegar na posição .
A antiderivada é uma função que quando derivamos resulta em :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de é:
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Aqui vai nos ajudar saber as regras de antiderivação do seno e do cosseno:
E da constante:
E do polinômio:
E também vale lembrar que a constante multiplicada a função não altera em nada sua derivada ou antiderivada:
Passo 2
Para encontrar a velocidade da partícula, iremos utilizar a antiderivada na função . Para isso, iremos utilizar as regras de derivação de funções trigonométricas.
Para o primeiro termo temos:
Para o segundo termo temos:
E juntando tudo com uma constante temos:
Derivando , temos
Dessa forma, a função é a antiderivada de .
Passo 3
Iremos agora utilizar o mesmo conceito para encontrar a posição
Para o primeiro termo temos:
Para o segundo termo temos:
E para o último termo temos:
Agora juntando tudo com uma constante nova teremos:
Derivando , temos
Dessa forma, é a antiderivada de .
Passo 4
Podemos agora encontrar o valor das constantes e utilizando as condições dadas. Aplicando a condição , temos
Dessa forma, .
Aplicando agora a condição , temos
Dessa forma, .
.
Sendo assim teremos: